サクラソウ ― 2009年05月01日
トレチャコフ美術館展 ― 2009年05月01日
円周率の値 - ゆとり教育 ― 2009年05月02日
今日から、連休の人は多いと思います。公立の学校の土曜休みは、既に定着していますが、私立の中・高校では、土曜日を休みとしていない学校もたくさん有ります。
以前、『ゆとり教育』の掛け声により、義務教育の内容が大きく削減され、授業時間も短縮されました。ゆとり教育による学力低下の弊害が顕著なので、最近は、ゆとり教育路線は変更されていますが、公立学校の土曜休日は変更されていません。
ゆとり教育の時代には、特に理数教育がおろそかにされる傾向があったようです。小学校の数学では、円周率を「およそ3」と教えることが推し進められました。非常にまずいことに、正六角形の周長と円周が一致することになってしまい、正六角形の指導に、困難をきたしました。
2003年の東京大学理系数学入試問題には、次の出題がありました。ゆとり教育で、円周率の値を『およそ3』と教えていることに、数学者としての不満を表明したのでしょうか。
『円周率(π)の値は、3.05よりも大きいことを示せ。』
この問題は、正8角形を考えれば、出来ないことはないのですが、それよりも正十二角形を考えれば、計算が容易になります。
数式で表すと次のようになります。
sinθ<θ(0<θ)に注意すれば、π>n×sin(π/n)となるので、n=8とすれば正8角形を考えたことに相当し(このときπ>3.06)、n=12とすれば正12角形を考えたことに相当します(このときπ>3.10)。
なお、sin(π/8)はcos(π/4)に半角の公式を使用すれば得られますが、2重根号が出て、計算が面倒になります。
sin(π/12)は次のようにすると簡単です。sin(π/12)=sin(π/4-π/6)=sin(π/4)cos(π/6)-cos(π/4)sin(π/6)。
以上。
東大の入試問題は、3.05よりも大きいことを示すものでしたが、正60角形を考え、少しがんばって計算すれば、3.14であることを示すこともそれほど困難ではありません。すなわち、π>60×sin(π/60)の右辺を計算します。sin(π/60)=sin(18-15°)を使うと楽でしょう。数学が好きな人は、以下の問題を解いてみてください。
ところで、円周率(π)の値は、sinθのテーラー展開を使ったほうが、気が利いた解答になるかもしれません。
sinθ<θ-θ3/3!+θ5/5! に、θ=π/6を入れれば、π>3.14157が証明できます。
不等式は、両辺の差を取って、5階微分まで考えると簡単に証明できます。
5乗の計算が面倒ならば、θ-θ3/6≦sinθ≦θ-θ3/4√3(0≦θ≦π/6)は簡単に証明できるので、この式にθ=π/6を代入すると、3.12<π<3.144が導けます。
以前、『ゆとり教育』の掛け声により、義務教育の内容が大きく削減され、授業時間も短縮されました。ゆとり教育による学力低下の弊害が顕著なので、最近は、ゆとり教育路線は変更されていますが、公立学校の土曜休日は変更されていません。
ゆとり教育の時代には、特に理数教育がおろそかにされる傾向があったようです。小学校の数学では、円周率を「およそ3」と教えることが推し進められました。非常にまずいことに、正六角形の周長と円周が一致することになってしまい、正六角形の指導に、困難をきたしました。
2003年の東京大学理系数学入試問題には、次の出題がありました。ゆとり教育で、円周率の値を『およそ3』と教えていることに、数学者としての不満を表明したのでしょうか。
『円周率(π)の値は、3.05よりも大きいことを示せ。』
この問題は、正8角形を考えれば、出来ないことはないのですが、それよりも正十二角形を考えれば、計算が容易になります。
数式で表すと次のようになります。
sinθ<θ(0<θ)に注意すれば、π>n×sin(π/n)となるので、n=8とすれば正8角形を考えたことに相当し(このときπ>3.06)、n=12とすれば正12角形を考えたことに相当します(このときπ>3.10)。
なお、sin(π/8)はcos(π/4)に半角の公式を使用すれば得られますが、2重根号が出て、計算が面倒になります。
sin(π/12)は次のようにすると簡単です。sin(π/12)=sin(π/4-π/6)=sin(π/4)cos(π/6)-cos(π/4)sin(π/6)。
以上。
東大の入試問題は、3.05よりも大きいことを示すものでしたが、正60角形を考え、少しがんばって計算すれば、3.14であることを示すこともそれほど困難ではありません。すなわち、π>60×sin(π/60)の右辺を計算します。sin(π/60)=sin(18-15°)を使うと楽でしょう。数学が好きな人は、以下の問題を解いてみてください。
問題
(1) 平面上において点Oを中心とする半径1の円を考える。この円の外部にある点Aからこの円に引いた2本の接線のなす角度がπ/6であるとき、OAの長さを求めよ。(2009年慶応大学理工部、問題文を一部改変)
(2) sin(18°) 、cos(18°)を求めよ(2009年慶応大学薬学部、問題文を一部改変)
(3) 円周率(π)の値は、小数点以下第3桁を四捨五入すると、3.14であることを示せ。(入試問題ではありません。こんなのでないでしょう。)
ところで、円周率(π)の値は、sinθのテーラー展開を使ったほうが、気が利いた解答になるかもしれません。
sinθ<θ-θ3/3!+θ5/5! に、θ=π/6を入れれば、π>3.14157が証明できます。
不等式は、両辺の差を取って、5階微分まで考えると簡単に証明できます。
5乗の計算が面倒ならば、θ-θ3/6≦sinθ≦θ-θ3/4√3(0≦θ≦π/6)は簡単に証明できるので、この式にθ=π/6を代入すると、3.12<π<3.144が導けます。
憲法記念日 ― 2009年05月03日
今日は憲法記念日なので、新聞紙上では、憲法9条改正に対する世論調査結果などが掲載されています。
『平和』が良いのに決まっているけれど、平和に対する感覚は国によって大きく異なるようです。日本は、開国以来、幾つかの戦争を体験しました。主なものを記すと、次のようになるでしょう。
日清戦争:朝鮮侵略をめぐる清国との戦争で、朝鮮を戦場にした。
日露戦争:満州・朝鮮侵略をめぐるロシアとの戦争で、満州・朝鮮を戦場にした。
日独戦争:第一次世界大戦へ介入し、中国山東省を戦場にした。
満州事変:中国東北部の強奪を狙った侵略戦争。戦場は中国東北部。
日中戦争(支那事変):中国全土への侵略戦争。戦場は中国。
太平洋戦争:日中戦争の延長であるが、戦線は、中国のみならず、東南アジア、太平洋に拡大した。戦争最末期のごく一時期は、沖縄戦や本土空襲が行われた。
日本の戦争をどのように評価するかは、人により・視点により、さまざまでしょう。評価とは別に事実としては、日本の戦争は、他国の領土へ兵隊を派遣して、他国の領土を戦場にするものでした。このため、歴史を教訓とするならば、日本における『平和』とは、日本軍が他国の領土を戦場にしないことが、最も重要なポイントになります。
『平和』が良いのに決まっているけれど、平和に対する感覚は国によって大きく異なるようです。日本は、開国以来、幾つかの戦争を体験しました。主なものを記すと、次のようになるでしょう。
日清戦争:朝鮮侵略をめぐる清国との戦争で、朝鮮を戦場にした。
日露戦争:満州・朝鮮侵略をめぐるロシアとの戦争で、満州・朝鮮を戦場にした。
日独戦争:第一次世界大戦へ介入し、中国山東省を戦場にした。
満州事変:中国東北部の強奪を狙った侵略戦争。戦場は中国東北部。
日中戦争(支那事変):中国全土への侵略戦争。戦場は中国。
太平洋戦争:日中戦争の延長であるが、戦線は、中国のみならず、東南アジア、太平洋に拡大した。戦争最末期のごく一時期は、沖縄戦や本土空襲が行われた。
日本の戦争をどのように評価するかは、人により・視点により、さまざまでしょう。評価とは別に事実としては、日本の戦争は、他国の領土へ兵隊を派遣して、他国の領土を戦場にするものでした。このため、歴史を教訓とするならば、日本における『平和』とは、日本軍が他国の領土を戦場にしないことが、最も重要なポイントになります。
高崎ハリストス正教会 ― 2009年05月05日
トレチャコフ美術館展 ― 2009年05月06日
トレチャコフ美術館展 レーピン像 ― 2009年05月06日
終戦記念日 ― 2009年05月07日
(掲示板に書いた記事の転載です)
5月7日は第二次世界大戦欧州戦線終結の日。ロシアでは戦勝記念日は5月9日になっています。
戦争と平和に対する考え方は、その国民の歴史によって変わります。日本の場合は、他国を『侵略』『植民地化』『進出』『天に変わりて不義を撃つ』など、人によりいろいろな言い方をするけれど、要するに、日本の戦争は、他国の領土へ兵隊を派遣して、他国の領土を戦場にするものでした。このため、歴史を教訓とするならば、日本における『平和』とは、日本軍が他国の領土を戦場にしないことが、最も重要なポイントになります。
これに対して、ロシアの場合は、2度の大戦ともロシアが戦場になったので、平和主義の意味合いが日本とは大きく異なります。
写真は、サンクトペテルブルグの勝利広場となりの公園にあったもので、トーチカのあとだと思います。このあたりがナチスとの前線になったそうです。1941-1945はナチスとの戦争の時期で、長い間、レニングラードは死の封鎖を余儀なくされ、多くの民間人の命が犠牲になりました。
戦勝記念日 ― 2009年05月09日
5月9日は、大祖国戦争勝利記念日です。
写真は、対ドイツ戦に参加した人に送られたメダル。
写真は、対ドイツ戦に参加した人に送られたメダル。
リボンのデザインは、帝政ロシア時代のセントゲオルギー十字勲章そっくりです。今でも、このメダルをつけた人が、デモ行進するのかな。