北海道大学 数学入試問題2017年03月02日

ここは、例年難しことはない。今年も、とりつきやすかったと思う。ただし、複素平面の問3は北大にしては難しかった。
  
北海道大学 理系 問3
  
(解答例 作図省略)
  
外心とは外接円の中心のことだから次式が成り立つ。
|z|=|z-α|=|z-β|
z=αβにより、次式が成り立つ。
|1-α|=|α|   |1-β|=|β|
  
1)
 |1-α|=|α| を図示すればよい。x=1/2の直線です。
  
2)
 1)から、α=1/2+ai β=1/2+bi とする。このとき、z=αβ=(1/4)-ab + (1/2)(a+b)i
 ここで、z=x+iyと書く。
  x=(1/4)-ab y=(1/2)(a+b) となる異なるa,bが実数の範囲で存在するための条件は次式である。
 y^2+(x-1/4)>0  <==  これを図示すればよい。(横倒れの放物線の片側です)

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