大阪大学・理系 数学入試問題2017年03月01日

 この大学は、例年難しい問題が出題される。本質的に難しいというよりも、出題者の意図の読み取りが難しいなど好ましくない問題も多い。今年も、そんな感じの出題だった。
 出題5問のうち、問3、問4が鬼門だ。問3は出題者の意図が読み取れるかどうかがポイント。問4は問題文に引きずられないで、問題の本質が見抜けたかどうかがポイント。もっとも、問題文の通りに解いても、計算力があるならば十分正解にたどり着く。
  
問3
  
この問題は(1)が(2)のヒントになっていることは気づくだろう。どう使えばよいのか、出題者の意図が読み取れるかどうかがこの問題のポイント。出題者の意図が読み取れるかどうかは数学の能力と無関係なので、こういう問題は出題しないでほしい。
  
解答例  
  
(1)容易なので省略
  
(2)元の不等式と(1)の不等式をかけ合わせて、次の不等式を得る。(ここに気が付くかどうかがポイント)
  |a^2-7b^2|<12/b^2
 √7は無理数だから、a^2-7b^2≠0 なので、|a^2-7b^2|≧1
  よって、12/b^2>1
   これを満たすb≧2の自然数はb=2,3である。
 この中で、元不等式を満たす値は a=8,b=3 のみである。
  
  
問4
  
この問題をそのまま解くと、計算量が多くて大変。でも、ちょっと考えてみると、f(x)=-x^2+bx+cと書いた時のb,cはどうでもよくて、要するにf(x)は2次の係数が-1の2次式であるということです。
  
解答例
  
(1)このまま解いてもよいけれど、
 f(x)=-x^2+ax+(d-4a)
 と書くと、f(4)=-16+d となって、aが消えるので、少し計算量が減る。
  0≦f(1)≦2 、5≦f(3)≦6  から次の④つの式が成り立つ。
 ①-3a+d-1≧0  ②-3a+d-3≦0  ③-a+d-14≧0  ④-a+d-15≦0 
  結局dの最小値はd=39/2(a=11/2)  最大値はd=22(a=7) である。
 すなわち、7/2≦f(4)≦6
  
(2)このまま解くと計算が多くて面倒なので、
 f(x)=-(x-p)^2+q 
 と書いて、qの範囲を求めると計算量が少なくて済む。
  p^2-2p+1≦q≦p^2-2p+3     p^2-6p+14≦q≦p^2-6p+15
  で囲まれた部分で、p=3のときq=5、p=7/2のときq=25/4となるので、
  5≦q≦25/4 
  
(3)f(X)=-X^2+6 (X=x-p)と考えると容易。
 答えはS=8√6

      
注 (2)はf(x)=-(x-p-2)^2+qと置くと、
(p+1)^2≦q≦(p+1)^2+1,(p-1)^2+5≦q≦(p-1)^2+6
となるので、このほうが見通しが良い。

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