東京医科歯科大学・医系 数学入試問題2017年03月03日

 ここの問題はいつもながら難しい。問1は特に考えにくい。問2はそれほど難しくなく、問3も落ち着いて考えれば何とかなるだろう。ただし、積分の定義をしっかり理解していないと、(1)ができないだろう。東京医科歯科狙いでない人も、問3はできるようにしておいたほうが良いだろう。
 そういうことで、問3の問題と解答例を書きます。
        
問3
  
  
  
解答例
  
積分記号は書きにくいので、関数fの[a,b]区間での定積分を Int[a,b](f) と書く
  
  
この問題は、積分が2重になっていて、間違いやすいので、f(x)の積分をF(x)と書いて、計算間違いをしないようにします。計算間違いしない人は、置き換える必要はない。
  
F(x)=Int[0,x](f) と書く。F(0)=0である。
この時、原式は次式と書ける。
  
F(x)=4ax^3+(1-3a)x+Int[0,x](F)+(1-x)F(1)-Int[x,1](F)
  =4ax^3+(1-3a)x+2Int[0,x](F)+(1-x)F(1)-Int[0,1](F)    (*)
  
(*)を微分すると次式となる。
f(x)=12ax^2+(1-3a)+2F(x)-F(1)   (**)
  
さらに微分すると次式となる。
f'(x)=24ax+2f(x)    (***)
  
1) (*)式でx=0,x=1とすると次式となる。
  0=F(0)=F(1)-Int[0,1](F)
  F(1)=4a+(1-3a)+Int[0,1](F) 
 よって、4a+(1-3a)=0     すなわち、a=-1
 次に、(**)式から、次式が成り立つ
 f(0)+f(1)=(1-3a)-F(1)+12a+(1-3a)+F(1)=6a+2=-4
  
2)(**)式と(***)式を使う。
 g'(x)=exp(-2x){-2f(x)+f'(x)}=-(24x)exp(-2x)
  
3) 2)より、g(x)=(ax+b)exp(-2x)+Cと書くと
 -2ax-2b+a=-24x となるので、a=12,b=6
  よって、f(x)=(12x+6)+Cexp(-2x) となる。
 ここで、f(0)+f(1)=-4を使って、Cを求めることにより、次式を得る。
 f(x)=12x+6 - 28exp(2x)/(1+e^2)

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