Fラン大学 岡山理科大学の数学入試問題2017年06月20日

安倍晋三首相がからむ「加計学園問題」は国会閉会後も尾を引きそうです。
  
タイトルのFラン大学とは、偏差値がものすごく低い大学のことを言う受験用語で、A~Eの五段階評価をしたときのFであるとか、ボーダーフリーのFだとか、そのように言われます。
  
加計学園の中核大学は岡山理科大学で、理工系のFラン大学です。岡山理科大学の他に、千葉県銚子市にある千葉科学大学も加計学園グループ大学で、ここの薬学部も恐ろしく偏差値が低い大学です。「加計学園問題」の政治問題にはいろいろな見解があるだろうけれど、政治問題以前に、「Fラン獣医学部を作ってどうするんだ」と言いたい。総理大臣の頭が悪い国があっても良いかもしれないが、頭が悪い獣医はゴメンだ。
  
「加計学園問題」とは関係ないが、岡山理科大学の数学入試問題を解いてみました。Fラン大の入試問題の特徴として、教科書の初歩的理解度を試す問題が中心です。上位大学を目指す生徒も、知識にぬけがないかを確認する意味で、いくつかのFラン大学の入試問題に、ざっと目を通しておくのも良いことでしょう。
  
2016年前期SA方式2日目の数学入試の問4は良くできた問題です。
   
(1)三角関数の定義を知っていれば十分。この問題は、高校に行っていたかどうかを見る問題です。
答: cosθ=5/13
  
(2)三角関数の和の公式を覚えているかどうかの問題。頭が悪くても、きちんと勉強していればできる問題です。
答: a(n+1)=5a(n)+12b(n)
  
(3)日本語で書かれた問題の意味が理解でき、数学的帰納法が使えるかどうかを試す問題。
解答:(2)と同様に、b(n+1)=-12a(n)+5b(n)となる。よって、a(n),b(n)が整数とすると、a(n+1),b(n+1)も整数。a(1),b(1)は明らかに整数だから、数学的帰納法により、すべての正の整数nに対して、a(n),b(n)は整数である。
  
(4)高校で習ったことを組み合わせ、さらにゴールを見据えて式変形ができるかどうかを試す問題。高校で易しい演習問題を解いていたかどうか、つまり自分で机に向かって勉強していたかどうかを試す問題です。この問題ができた生徒は、岡山理大よりも、上位大学を狙えたかもしれない。
解答:
 次式が成り立つ。
 a(n+1)+(-3)^n=5{a(n)+(-3)^(n-1)}+12{b(n)+8(-3)^(n-1)}-13×8(-3)^(n-1)
 b(n+1)+8(-3)^n=-12{a(n)+(-3)^(n-1)}+5{b(n)+8(-3)^(n-1)}-13×4(-3)^(n-1)
 このため、a(n)+(-3)^(n-1)、b(n)+8(-3)^(n-1)が13の倍数の時は、a(n+1)+(-3)^n、b(n+1)+8(-3)^nは13の倍数になる。n=1の時、a(n)+(-3)^(n-1)、b(n)+8(-3)^(n-1)は、どちらも13なので、13の倍数。
 よって、数学的帰納法により、すべて正の整数nに対して、a(n)+(-3)^(n-1)、b(n)+8(-3)^(n-1)は13の倍数である。
  
(5)この問題はFラン大にしては難しい。生まれつき頭が悪い生徒には困難でしょう。
解答:
 θ/πは有理数であるとする。この時、θ/π=m/n  (ただし、m,nは正の整数)と書ける。
 このとき、a(n)=13^n×sin(mπ)=0となる。
 よって、a(n)+(-3)^(n-1)=(-3)^(n-1)となるので、この値は13の倍数ではない。これは、(4)の結論と矛盾する。
 以上より、θ/πは無理数である。

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