岡山理科大学の数学入試問題の変形2017年06月21日

2016年前期SA方式2日目の数学入試の問4の変形として、こんな問題はどうでしょう。
       
問題
    
i^2+j^2=k^2 (i,j,kは正の整数)とする。
sinθ=i/k (ただし0<θ<π/2) とすると、θ/πは無理数であることを示せ。
    
解答方針
a(n)=k^n×sin(nθ) 、 b(n)=k^n×cos(nθ) とする
このとき、α=2j-kとすると
a(n)+(k-i)×α^(n-1) 、b(n)+(k-j)×α^(n-1)
はkの倍数となることを示せばよい。

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