国士舘大学の数学入試問題2017年06月28日

 国士舘大学は右翼系の大学として有名。Fラン大というほどではないが、かなり偏差値が低い大学。
 左翼的主張をする学者には一橋大など偏差値が高い大学教授が多いのに対して、右翼的主張の学者は国士舘大など偏差値が低い大学教授が多い。学者の主義主張と学生の偏差値は本来無関係だと思うのだが、実際には明確な相関があるようで不思議だ。 

 国士舘大学の数学入試問題をいくつか解いてみた。多くの問題が教科書を一通り理解したかどうかを問う初歩的な問題。
 しかし、平成29年度数学Ⅲの問Ⅱは、受験勉強が必要な問題だった。国士舘受験者のどれだけができただろう。ただし、論理的思考が必要な問題ではなくて、どれも受験テクニックで足りるので、頭がよくない生徒でも、まじめに勉強していれば完答できる問題だ。もっとも、まじめに勉強していて、国士舘はないか。 


国士舘大学 平成29年度数学Ⅲ2月1日の問Ⅱ

(1)
 分数関数の積分は分母を分離することが定石。さらに、1/(X2+1)の積分がarctanであることを知っている必要がある。このため、まじめに勉強していないと無理だろう。

解答方針:
(2X2+7X+1)/{(X2+1)(X+1)}=aX/(X2+1) + b/(X2+1) + c/(X+1)となるa,b,cを求める。
a=4,b=3,c=-2である。
また、 ∫2X/(X2+1)dX=log(X2+1) (注:t=X2+1と置けば良い)
    ∫1/(X2+1)dX=arctanX   (注:t=tanθと置けば良い)
    ∫1/(X+1)dX=log(X+1)
であることを使う。以下省略。

(2)
この問題は、(1)(3)に比べれば易しい。普通に数Ⅲの受験勉強をしていれば、一度は類題を解いたことがあるはず。

解答方針:
分子がsinで、分母はcosの関数なので、cosの微分が-sinであることを知っていれば、t=cosX と置けば良いことに気が付くだろう。 あとは容易

(3)
類題を解いたことがないと難しい。この問題の類題をしっかり勉強していた受験生が、国士舘を受けるかな。tanのn乗の不定積分の漸化式を求める方法を知っていれば難なく解ける。tanの2乗の不定積分計算をやったことがなければ、まず無理だろう。

解答方針:これはtanの4乗の積分をする問題。
t=tanXとおく
∫tan4XdX=∫tan2X (sin2X/cos2X)dX=∫t2sin2Xdt
ここで、sin2X=sin2X/(cos2X+sin2X)=t2/(1+t2)
よって、∫tan4XdX=∫t4/(t2+1)dt=∫{t2-1+1/(t2+1)}dt
=(1/3)t3-t+arctan(t)=(1/3)tan3X-tanX+X
以下省略。

コメント

_ クロアチア ― 2017年06月29日 18時05分31秒

∫tan^4XdX=∫tan^2X (sin^2X/cos^2X)dX ではなく
∫tan^4XdX=∫tan^2X(tan^2X) dXでわけ、
tan^2(X)+1=(1/cos^2(X))から
tan^2(X)=(1/cos^2(X))-1を(tan^2X)に代入して
∫tan^2X((1/cos^2(X)) dX - ∫tan^2X dX
に変形した上、
∫tan^2X((1/cos^2(X)) dX はt=tanXで置換積分
∫tan^2X dXはtan^2(X)=(1/cos^2(X))-1で使って積分すると、
分子÷分母の計算と、もう1回置換積分しなくても済みます。

tan^2(X)+1=(1/cos^2(X))は
sin^2(X)+cos^2(X)=1を両辺cos^2(X)で割ると導き出せます。

_ cccpcamera ― 2017年06月30日 16時10分01秒

クロアチア様コメントありがとうございます。
三角関数の有理関数の積分は、いろいろな方法があると思います。
tan^4(X)={tan^2(X)-1}/cos^2(X)+1
と変形すると、tan^4(X)の積分が(1/3)tan^3(X)-tan(X)+Xであることは、ほとんど自明です。

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