2019年、早稲田大学理工の数学入試問題2019年02月21日

2019年の早稲田大学理工の数学入試問題を解いてみた。難易度は例年並かな。教科書だけで十分とは言えないけれど、難しい問題をたくさんこなしていないといけないというわけでもない。上位国立大よりは易しい。同志社よりは難しい。慶応理工と比べたら、同程度の難易度かな。

それから、問3はガウス記号を含む極限の問題。でも、落ち着いて考えれば、ガウス記号はハッタリだとわかるだろう。受験勉強に慣れていれば、一瞬で回答方針がわかる問題だ。

参考に問2の問題と解答を示す。ただし、テキストで書くために、問題の表現を若干変えている。


問題:
nを3以上の整数とする。面積1の正n角形の周の長さをLとするとき、以下の問に答えよ。
(1) L×Lをnで表せ。
(2) n→∞のとき、Lの極限を求めよ。
(3) Lはnに関して単調減少となることを示せ。

解答:
(1)
半径rの円に内接する正n角形の面積 Sは次式となる
S=n×r×r×sinθ×cosθ θ=π/n

半径rの円に内接する正n角形の周長 Lは次式となる
L=2n×r×sinθ θ=π/n

S=1 であるから、L×L=4n×tan(π/n)

(2)
L×L=4n×tan(π/n)=4πtanθ / θ →4π(n→∞,θ→+0)
よって、L→2√π(n→∞)

注)n→∞のときは、円になるので、面積1の円の円周を求めればよい。

(3)
f(θ)=tanθ / θ とする。ただし0<θ<π/2
f'(θ)=(θ-sinθ×cosθ) / (θcosθ)^2 > 0 
なぜなら、0<θ<π/2のとき、θ>sinθ>0 0<cosθ<1
よって、f(θ)はθに関して単調増加なので、
L×L=4πf(θ)はnに関して単調減少となる。
以上で題意は示された。

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