東京大学理系 数学入試問題2019年02月26日

今年の東大理系の数学入試問題は例年に比べ易しかったと思う。
問1、問2は教科書+αの勉強でできただろう。これができないなら、早慶だって怪しい。
問4、問5は問題自体よりも、減点されない答案の書き方に戸惑った受験生がいたかもしれない。もっとも、東大なのだからこのぐらいできて当然かな。
問6は条件3をフル活用することができないと不可能。こういう問題は、受験勉強をこなしていないと無理だと思う。


問1
t=1+x^2とおけば容易でしょう

問2
AP=xと置いて、DR/AQをxで表すこと、および、xの取りうる範囲を考えれば、あとは容易

問3
問題文が長いので読んでいない

問4
(1)
5n^2+9=5(n^2+1)+4から最大公約数は1,2,4のどれか。nの奇数偶数によって、dn=2,1となる。
(2) ほとんど自明だけど、減点されないようにどうまとめるか

問5
(1)(2)ほとんど自明
(3)a=1,b^2=cos1は自明でしょう。aは(2)を使って、減点されないようにまとめるのだけれど、ε,n法を使わないでどのように書くのか、私にはわからない。
cはan^n-b={an^(2n)-b^2}/{an^n-b}
ここで、an^(2n)=an×cos(an)であるから、
{an^(2n)-b^2}/{an-a}=(xcosx-cos1)/(x-1) ただしx=an
とすればよい。

問6 やや難しい
(1)全部が複素数の時は、2個ずつが複素共役になるので、αβ+γδは実数になる。全部が実数の時は、αβ+γδは実数。よって条件3から題意は示された。
(2)
・互いに共役な複素数解が純虚数の時
  α+β+γ+δ=2であるから、4つの解はp,2-p,ri,-riと書ける。
  方程式の2次係数がゼロであるから、αβ+αγ+αδ+βγ+βδ+γδ=0
  よって、p(2-p)=-r×rとなる。
  方程式の1次係数が-2aであるから、a=r×rとなる。
  b=αβγδ=p(2-p)r^2=-a^2
・互いに共役な複素数解が純虚数でない時
  4つの解はp,-p,1+ri,1-riと書ける。
   同様にして、-p^2+1+r^2=0,a=-p^2,b=-a^2
(3)は(2)ができていれば容易



<問題>
 
第1問
省略
 
 
第2問
一辺の長さが1の正方形ABCDを考える。3点P,Q,Rはそれぞれ辺AB,AD,CD上にあり,3点A,P,Qおよび3点P,Q,Rはどちらも面積が1/3の三角形の3頂点であるとする。
DR/AQの最大億最小値を求めよ。
 
 
第3問
省略
 
 
第4問
nを1以上の整数とする。
(1)n^2+1と5n^2+9の最大公約数dnを求めよ。
(2)(n2+1)(5n^2+9)は整数の2乗にならないことを示せ。
 
 
第5問
以下の問いに答えよ。
(1)nを1以上の整数とする。xについての方程式
x^(2n-1)=cos(x)
は,ただ一つの実数解anをもつことを示せ。
(2)(1)で定まるanに対し,cos(an)>cos1を示せ。
(3)(1)で定まる数列a1,a2,a3,……,an,……に対し,
an→a(n→∞)
an^n→b(n→∞)
(an^n-b)/(an-a)→c(n→∞)
とするとき、a,b,cを求めよ。
 
 
第6問
複素数α,β,γ,δおよび実数a,bが,次の3条件をみたしながら動く。
条件1:α,β,γ,δは相異なる。
条件2:α,β,γ,δは4次方程式z^4-2z^3-2az+b=0の解である。
条件3:複素数αβ+γδの実部は0であり,虚部は0でない。
(1)α,β,γ,δのうち,ちょうど2つが実数であり,残りの2つは互いに共役な複素数であることを示せ。
(2)bをaで表せ。
(3)複素数α+βがとりうる範囲を複素数平面上に図示せよ。

北大理系 数学入試問題2019年02月26日

2019年、北大理系数学入試問題を解いてみた。

問1は易しい。
問2は易しいのだけれど、論考に慣れていない受験生は大変だったかもしれない。もっとも、この問題ができないで、北大理系を受験するなどおこがましい。
問3は北大にしては計算が若干多かった。問4は問題文を読んでいない。
問5は北大にしては計算量が多い。それに、定積分の意味が分かっていないとこの問題はできない。
そういうことで、北大は例年に比べて難化した。

問2はこんな感じ。
(1)nが偶数のときと奇数の時に分ければよい。
(2)anが8で割り切れるときはnが8の倍数かn+1が8の倍数であることを言って、このとき、a(n+3)は8の倍数でないことを言えばよい。
(3)nがpの倍数のときと、n+1がpの倍数のときにわけて、この時ともにa(n+3)はpの倍数でないことを言う。
(4)(3)から、dn=2^m×3^kと表せる。(2)からm≦2となる。(2)と同様にして、dnは9で割り切れないことが示せるので、k≦1である。よって、dn≦12。n=8,12などが、dn=12となる例。

京都大学理系 数学入試問題2019年02月26日

京都大学は時々突拍子もなく難しい問題が出題されるが、今年はそんなことなかった。でも、決してやさしくない。難易度は例年並かな。

問1は小問三問。受験勉強に慣れていないとできないけれど、慣れていれば定石通りでそれほど難しくはない。
問2は考えにくいかもしれない。問3は普通にやればで正解にたどり着く。
問4,5は解いていない。
問6は京大らしい変な問題だけど、普通に極座標表示すれば、どうってことはない。

問2
こういう問題は考えていてもわからない。nにいくつかを入れてやってみると正解にたどり着く。
n=0,1,2,とやって、n=-1,-2,-3,-4とやってみるとわかる。
f(n)とf(n+1)のどちらかは必ず偶数であることを使う。
答えはn=-3,-2,-1,0


問3
座標平面上のどの位置にA,B,C点を置くのかによって、計算量が変わってくる。ACをy軸にとると「やや易」、BCをx軸にとると「やや難」になる。

A(0,0)、C(0,c)、B(a,b) とする。このとき、P,Qの座標は以下のようになる。
Q(0,c(1-t)) P(at,bt+c(1-t)^2)
Pの軌跡は次式となる。
x=at,y=bt+c(1-t)^2 0<t<1
すなわち、y=(c/a^2)x^2+((b-2c)/a)x+c  0<x<a
一方BCの式は y=((b-c)/a)x+cであるから、
f(x)=-(c/a^2)x^2+(c/a)xとするとき、求める面積は
f(x)を0からaまで積分した値である。
すなわち、ac/6
三角形の面積はac/2であるから、求める値はS/3。
 
 
 
<参考  問題>
 
問1
次の各問に答えよ。 
(1)
0<θ<π/2とする。cosθは有理数ではないが,cos2θとcos3θがとも
に有理数となるようなθの値を求めよ。ただし,pが素数のとき,√pが有
理数でないことは証明なしに用いてよい。
(2)
省略
  
問2
f(x)=x^3+2x^2+2。|f(n)|と|f(n+1)|がともに素数となる整数nをすべて求めよ。
  
問3
 鋭角三角形ABCを考え,その面積をSとする。0<t<1をみたす実数tに対し,線分ACをt:1-tに内分する点をQ,線分BQをt:1-tに内分する点をPとする。実数tがこの範囲を動くときに点Pの描く曲線と,線分BCによって囲まれる部分の面積を,Sを用いて表せ。
  
問4
 1つのさいころをn回続けて投げ,出た目を順にX1,X2,…,Xnとする。このとき次の条件をみたす確率をnを用いて表せ。ただしX0=0としておく。
条件:1≦k≦nをみたすkのうち,X(k-1)≦4かつXk≧5が成立するようなkの値はただ1つである。
  
問5
 半径1の球面上の5点A,B1,B2,B3,B4は,正方形BIB2B3B4を底面とする四
角錐をなしている。この5点が球面上を動くとき,四角錐A,Bl,B2,B3,B4の体積の
最大値を求めよ。
  
問6
 iは虚数単位とする。
   (1十i)^n十(1-i)^n>10^10
 をみたす最小の正の整数nを求めよ。
常用対数表は次ページにある。(省略)

九州大学理系の数学入試問題2019年02月26日

近年、九大は若干難しくなっている。今年も近年並だろうか。早慶よりも難しい。教科書中心の勉強では無理だろう。

問1
 普通に積分すればいい。sin2の積分は倍角の公式を使うこと、xsinの積分は部分積分を使うことを知っていれば迷うことはないだろう。

問2 九大にしては(1)の論証が難しい。
(1)
f(x)をn次、g(x)をm次として、最初の式から2n=m+2が得られて、次の式からn=m=2となる。
(2)
f(x)=ax^2+bx+cとおくと、最初の式からg(x)=ax^2+b-2a,c=-4a+2b+7となる。
2番目の式にこれを入れて、a=1,b=0,c=3
結局、f(x)=x^2+3 g(x)=x^2-2

問3、問4
解いていない
   
問5 九大にしてはちょっと難しい
(ア)から、a=1,c=-bがでる。
(イ)から、|b|=1となる。
ここまでは簡単なのだけれど、(ウ)からb=1を出すところは、減点されないように注意して解答する必要がある。
ここまでできれば、wの軌跡は難しくない。wを使ってzの式を出して、これが純虚数になる(複素共役がマイナスになる)ことを使う。

* * * * * *

<< 2019/02 >>
01 02
03 04 05 06 07 08 09
10 11 12 13 14 15 16
17 18 19 20 21 22 23
24 25 26 27 28

RSS