一橋大学 の数学入試問題2019年02月28日

一橋大学は文系の大学なのに、数学の入試は決してやさしくはない。MARCHクラスの理系よりもずっと難しい。ただし、今年はそれほど難しくはなく、高得点が取れた受験生も多かっただろう。

問1 順に考えれば易しかったと思う
問2 式をどのように変形して正解にたどり着くのか、難しい。
問3 問題の文章通りに解くのだけれど、ごちゃごちゃするので、要領よくまとめる必要がある。
問4 普通に解けばよく、難しいことはない。

問1
a3=p^2+12 a4=25 a5=26-p^2 となる。
平方数は正なので、a5が平方数の時はp≦5である。
p=1,2,3,4,5のなかに、a3,a5がともに平方数となるものはない。

問2
式をどのように変形したらいいのかが難しい。
Q(p,q) P(x,y)とする。 p^2+q^2=1 p,q≧1
題意から、
x=2(p+q)p y=2(p+q)q
よって、
x+y=2(p^2+q^2)+4pq=2+4pq ①
x-y=2(p^2-q^2)      ②
②を2乗して(x-y)^2=4{(p^2+q^2)}^2 - 16p^2q^2=4-16p^2q^2
(x-y)^2=4-(x+y-2)^2
(x-1)^2+(y-1)^2=2
x,yの範囲は正の部分 

参考)A(2√2,0)だったらこの問題は易しい。
このときは、x=2√2p^2 y=2√2pq となるので、(x-√2)^2+y^2=2となる。
A(2,2)はA(2√2,0)を45度回転したものだから。(x-1)^2+(y-1)^2=2が求める解。
なお、上の解で、x-yとx+yを評価したのは、(x,y)を45度回転した座標を考えるためです。


問3
普通にやるしかないでしょう
(1)
αにおける接線の式 y=(α-1){3(α+1)x-2(α^2+α+1)}
よって、Qのx座標はx=(2/3)(α^2+α+1)/(α+1)
LとCの接点のx座標をβとすると、Lは次式となる。
 y=(β-1){3(β+1)x-2(β^2+β+1)}
これがQを通るのだから、(β+1)(α^2+α+1)-(β^2+β+1)(α+1)=0
となる。
この式は、(α-β)で因数分解できで、
(α-β){((α+1)β+α}=0
よって、β=-α/(α+1) 
(2)省略

問題4
Pの座標をx,yとする。C3の円の半径をrとするとき、次式が成り立つ。
(r+1)^2=(x-1)^2+y^2
(2-r)^2=(x-2)^2-y^2
rの範囲は0<r<1
この式からrを求めると r=x/3
よって、y^2=(8/9)x(3-x)となる。
x^2y^2を最大とするxはf(x)=x^2y^2をxの式で書いて微分して調べると。
x=9/4となる。
よって、y=√6/2 S=9√6/16 ただし、Sは三角形の面積


問題5
 解いていません。

* * * * * *

<< 2019/02 >>
01 02
03 04 05 06 07 08 09
10 11 12 13 14 15 16
17 18 19 20 21 22 23
24 25 26 27 28

RSS