京都大学(理系)数学入試問題2020年02月28日

京都大学は、ときどき、とてつもなく難しい問題が出題されるが、今年はそのようなことはなかった。ただし、教科書の練習問題だけで十分なことはなくて、それなりに受験勉強に取り組んでいないと、どの問題も解けないと思う。

1はどう考えるのかによって、難易に差がでる問題。問2は難しそうな雰囲気だけど、こけおどし。こういうふざけた問題は、出題しないでほしい。問4は京都大学の整数問題なので、とてつもなく難しいのではないかと身構えたら、単に条件を分ければよい簡単な問題だった。

3、問5は文理共通。

 

そういうことで、問1、問2、問4の問題と解答例を示します。  

 

 

問1

<問題>

 a,bは実数でa>0とする。zに関する方程式

  z3+3az2+bz+1=0

は異なる3つの解をもち、それらは複素平面上で一辺の長さが√3aの正三角形の頂点となっているとする。この時、a,bの値と、方程式の3つの解を求めよ。

 

<コメント>

この問題は、どのように考えるのかによって、難易度に大きな差が出る。ここでは、幾何的直観を使って、極力計算量を少なくすることを試みた。

 

<解答>

方程式の3つの解をα、β、γとする。ここで、αは実数解であるとする。

最初に三角形の重心を考える。α+β+γ=-3aであるから、3つの解の重心は-aである。

よって、3つの解は-aを中心とする半径aの円周上にある正三角形となる。

-aを中心とする半径aの円周上にある実数は0または-2aなので、αは0または-2aである。しかし、方程式のゼロ次項はゼロでないので、0は解ではない。

よって、α=-2a

3つの解は、-aを中心とする半径aの円周上にある正三角形なのだから、

β=-a+aω、γ=-a+aω*

ただし、ωは-1の三乗根の虚数解。ω*はωの複素共役。

 

以上、ここまでは全く計算をしていない。以下、a,bの値や解を求めるためには若干の計算が必要。

ここで、ω+ω*=1、ωω*=1を使う。

 

αβγ=-1であるから、a=1/32

b=αβ+βγ+γα=3a2

あとは省略。

 

 

 

問2

<問題>

pを正の整数とする。α、βはxに関する方程式x2-2px-1=02つの解で、|α|>1であるとする。

(1)  すべての整数に対してαn+βnは整数であり、さらに偶数であることを証明せよ。

(2)  極限 lim(n→∞)(-α)nsin(αnπ)  をもとめよ。  

 

<コメント>

 一見するとかなり難しそうだけれど、単なるこけおどしで、易しい問題。確実に点を取るようにしたい。

 

<解答>

(1)  α+β=2p  αβ=-1 を使う。

n=1,n=2のときは自明。

あとはαn+βn及びαn-1+βn-1が偶数の整数であることを仮定して、数学的帰納法を使えばよい。

 

(2)  難しそうだけど、単なるこけおどし。

題意から、-α=1/β  -1<β<0

また、(1)からsinαnπ=-sinβnπ 

βn=xと書くと、-1<β<0より、n→∞のとき、x0なので、求める値は

lim(x0)-sin(πx)/x-π  

 

 

 

4

<問題>

正の数αに対して

 α=3βγ  (β、γは整数で、γは3の倍数ではない)

の形に書いたとき、B(α)=βとする。例えばB32×5=2である。

m,nは整数で、以下の条件を満たす。

1m30     1n30     n3で割り切れない

このようなm,nについて、f(m,n)=m3+n2+n+3 とするとき、

   A(m,n)=B(f(m,n))

の最大値を求めよ。またA(m,n)の最大値を与えるような(m,n)を全て求めよ。

 

<コメント>

m,n3で割った余りについて場合分けすればよい。考え方も、やることも難しいことはない。

 

<解答>

以下、a,b,cは整数とする。

1)    n=3b+1 のとき

f(m,n)が3の倍数となるのはm=3a+1である。

このとき、f(m,n)=27(a3+a2)+9(a+b2+b)+6なので、

A(m,n)=1

 

2)    n=3b+2のとき

f(m,n)が3の倍数となるのはm=3aである。

このとき、f(m,n)=27a3+9(b2+1)+15b となるのでb3の倍数のときはA(m,n)2となり、bが3の倍数でないときはA(m,n)=1となる。

 

2-1) b=0のとき

f(m,n)=27a3+9 であるから、A(m,n)=2

 

2-2)b=3のとき

f(m,n)=27(a3+5) であるから、A(m,n)3

 

2-3)b=6のとき

f(m,n)= 27a3+9×47 であるから、A(m,n)=2

 

2-4)b=9のとき

f(m,n)= 27a3+9×127 であるから、A(m,n)=2

 

b12n>30となり不適。

 

以上よりb=3a3+53の倍数のときにA(m,n)4となり、それ以外のときはA(m,n)3となる。

a3+53の倍数となるのは、a=3c+1と書けるときである。ただし、1m30 であるから、0c3

また、このとき、a3+5=27c3+27c2+9c+6なので、この値は常に3の倍数で9の倍数ではない。

以上より、A(m,n)の最大値は

A(m,n)=4

このとき、c=0,1,2,3  b=3

すなわち、m=3,12,21,30   n=11

 

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