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この大学は、時々、超難問が出題されることがあるが、今年はそういうことはなかった。問1は典型的な問題。問2は素数が関係する問題で、場合分けが必要。しかし、3つの素数の積なので、大変ではない。問3は積分の抽象議論になれていれば易しい問題だが、単なる計算練習のみの受験生には歯が立たないだろう。問4は問題文を読んでいません。

4問で試験時間150分なので、数学が得意な受験生は時間が余って困ったことだろう。

　そういうことで、問2と問3の解答を書きます。

 

 

問2

(1)

題意から明らかにm>1である。

a=2でb,c=m²+1,m⁴+1の場合は、明らかにa²<bcとなる。

a= m²+1で、b,c=2, ,m⁴+1の場合は、a²<bcは容易に示される。

a= m⁴+1で、b,c=2, ,m²+1の場合は、a²>bcなので、求める解ではない。

よって、a=2, m²+1

 

(2)

(x+y){(x+y)²+y²}=2(m²+1)( m⁴+1)　である。

右辺は異なる3つの素数の積であるから、左辺は互いに素の数の積である。

明らかにx+y≠1であるから、x+yは2, m²+1,m⁴+1のいずれか、または、それらの積である。

①    もし、x+y が2, m²+1,m⁴+1の2つ以上の積であるとすると、

(x+y)²≧{2(m²+1)}²> m⁴+1となる。

一方、x+y が2, m²+1,m⁴+1の2つ以上の積のときは、{(x+y)²+y²}≦m⁴+1でなくてはならず、このようなx、yは存在しない。

②    x+y が2, m²+1,m⁴+1のどれか１つとする。

x+y=aとすると、(x+y)²+y²=bcであり、a²<bcが成り立っている。

よって、x+y=2 or x+y= m²+1

ここで、x+y=2とすると、x=1,y=1となって、(x+y)²+y²=bc=5となるので不適。

x+y= m²+1とすると、(x+y)²+y²=2(m⁴+1)　となる。

これを解くと、y=m²-1、x=2

 

 

問3

(1)

0≦x≦2πで、f’’(x)>0であるから、この範囲でf’(x)は増加関数。

0≦x≦π/2のとき、x<π-x<π+x<2π-xとなるので、

f’(x)<f’(π+x)  f’(π-x)<f’(2π-x) が成り立つ。

F’(x)=f’(x)+ f’(π-x)- f’(π+x)- f’(2π-x)<0

一方、F(π/2)=0であるから、0≦x≦π/2のときF(x)≧0となる。

 

(2)

積分区間を[0, π/2] [ π/2, π] [ π, 3π/2] [3π/2,2π]にわけると、求める積分は、次式となる。

∫F(x)cos(x)dx  ただし、積分範囲は[0, π/2]。

よって、(1)より、この定積分の値は正である。

 

(3)

g(x)=-f’(x)とおくと、f’’(x)>0となる。

∫g(x)sin(x)dx=-∫f’(x)sin(x)dx=[-f(x)sin(x)]+∫f(x)cos(x)dx=∫f(x)cos(x)dx>0

ただし、積分範囲は[0, 2π]