旭川医大数学入試問題2020年03月02日

 旭川医大は国立医学部としては偏差値は高くないのだろうか、数学の問題は易し目だ。問2は普通の問題なので、国立大学理系を受験する人は練習問題として類似問題を解いたことがあるだろう。問3は、ただ数えるだけ。ただし、ΣkやΣk2を覚えていないと出来ない。問4は問題文の意味が分かれば、あとは中学生の連立方程式の問題に毛が生えた程度。
 問1は出題者の意図を読めないと難しい。
 そういうことで、問1を解答します。



問1の解答

y=log(x)
y'=1/x
よって、x=pにおける接線の式は
y=(x-p)/p+log(p)
この線がx軸と交わるx座標を-nとすると、
n=p{log(p)-1}
すなわち、n=an{log(an)-1}

(1)
n=an{log(an)-1}でn=0とすると、a0=e

(2)
求める面積をS(n)とする。
S(n)=∫1anlog(x)dx=n+1

(3)
log(x)は単調増加関数だから、次式が成り立つ。
{an+1-an}log(an)<S(n+1)-S(n)<{an+1-an}log(an+1)
(2)より、S(n+1)-S(n)=1であるから、次式が成り立つ。
1/log(an+1)<an+1-an<1/log(an)
すなわち、
lim(an+1-an) = 0 (n→∞)
ここで、lim an=∞を使った。


anlog(an)=an{log(an)-1}+an{log(an)-1}/{log(an)-1}
=n+n/{log(an)-1}
なぜならば、n=an{log(an)-1}
よって、anlog(an)/n=1+1/{log(an)-1}→1 (n→1)

* * * * * *

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