2022年大学入試共通テスト 数学1A 問5(1)2022年01月18日

2022年大学入試共通テスト 数学1A 問5(1)

数学が嫌いでも、センターで点を取らなくてはならない。問題によっては、何とか裏技で点を取ることもできることがある。問5(1)などは、その典型的な問題だった。

<問題>
△ABCの重心をGとし,線分AG上で点Aとは異なる位置に点Dをとる。直線AGと辺BCの交点をEとする。また、直線BC上で辺BC上にはない位置に
点Fをとる。直線DFと辺ABの交点をP、直線DFと辺ACの交点をQとする。
点Dは線分AGの中点であるとする。このとき,△ABCの形状に関係なく
  AD/DE=(ア)/(イ)
である。またFの位置に関係なく、
  BP/AP=(ウ)×(エ)/(オ)
  CQ/AQ=(カ)×(キ)/(ク)
であるので、つねに、
  BP/AP+CQ/AQ=(ケ)
となる。
 (エ)、(オ)、(キ)、(ク)の解答群(同じものを繰り返し選んでも良い。)
  (0)BC (1)BF (2)CF (3)EF (4)FP (5)FQ (6)PQ

<ふざけた解答>
これは初等幾何の問題。この問題ができないと将来困る人は、まずいないだろう。だったら、こんなの出来なくても、正解が出せればよい。穴埋め問題では、こういう解答でも十分だ。

問題を見ると、三角形によらないことが分かるだろう。だったら、特定の三角形に対して求れば、それが正解ということだ。
易しい三角形は正三角形か直角二等辺三角形なので、ここでは座標系を使うものとして直角二等辺三角形の時に解を求めてみる。
A(0,0) B(6,0) C(0,6) とする。
このとき G(2,2) D(1,1) E(3,3) である。
したがって、AD/DE=1/2となる。
ここで、F(-f,f+6)とする。
このとき、直線DFの式は (f+1)*(y-1)=(5+f)*(1-x)であるから、
Pのx座標は(2f+6)/(f+5) Qのy座標は(2f+6)/(f+1)
よって、BP/AP=2(f+6)/(f+3) CQ/AQ=2f/(f+3)
一方、BC=6√2 BF=(6+f)√2 CF=f√2 EF=(3+f)√2
また、FP,FQ,PQは複雑な式になるので、どうせ解答に関係ないに決まっている。
以上より、BP/AP=2*BF/EF CQ/AQ=2*CF/EF
また、BP/AP+CQ/AQ=4

コメント

コメントをどうぞ

※メールアドレスとURLの入力は必須ではありません。 入力されたメールアドレスは記事に反映されず、ブログの管理者のみが参照できます。

※なお、送られたコメントはブログの管理者が確認するまで公開されません。

名前:
メールアドレス:
URL:
コメント:

トラックバック

* * * * * *

<< 2022/01 >>
01
02 03 04 05 06 07 08
09 10 11 12 13 14 15
16 17 18 19 20 21 22
23 24 25 26 27 28 29
30 31

RSS