2022年大学入試共通テスト 数学1A 第4問2022年01月18日

2022年大学入試共通テスト 数学1A 第4問

以下、累乗を^と書きます。
(解説)
 整数の問題に慣れていないと、何を聞かれてるいのか、分からないだろう。整数の問題に慣れていないと将来困る生徒が、どれだけいるのだろう。そう考えると、無用にひねくれた問題のように感じる。
 まず、この問題を解くときのヒントが「5^4=625を2^4で割ったときの余りは1に等しい」であることに、気づく必要がある。これを式で書くと625=16*39+1となる。そうすると、考え方自体は易しい。しかし掛け算が多くてたいへん。

(問題)
(1)
5^4=625を2^4で割ったときの余りは1に等しい。このことを用いると、不定方程式
(5^4)x-(2^4)y=1     ①
の整数解のうち、xが正の整数で最小になるのは
  x=(ア) y=(イウ)
であることがわかる.
また①の整数解のうち、xが2桁の正の整数で最小になるのは
  x=(エオ) y=(カキク)
である。

(2)
次に、625^2を5^4で割ったときの余りと、2^4で割ったときの余りについて考えてみよう。
まず
625^2=5^(ケ)
であり、またm=(イウ)とすると
625^2=(2^(ケ))(m^2)+(2^(コ))m+1
である。これらより、 625^2を5^5で割ったときの余りと、2^5で割ったときの余りがわかる。

(3)(2)の考察は、不定方程式
(5^5)x-(2^5)y=1     ②
の整数解を調べるために利用できる。
x,yを②の整数解とする。(5^5)xは5^5の倍数であり、2^5で割ったときの余りは1となる。よって、(2)により、(5^5)x -625^2は5^5でも2^5でも割り切れる。5^5と2^5は互いに素なので、(5^5)x-(625^2)は(5^5)・(2^5)の倍数である.
このことから,②の整数解のうち、xが3桁の正の整数で最小になるのは
x=(サシス)  y=(セソタチツ)
であることがわかる。

(4)
11^4を2^4で割った時の余りは1に等しい。不定方程式
 (11^5)x-(2^5)y=1
の整数解のうち、xが正の整数で最小になるのは
  x=(テト) y=(ナニヌネノ)
である。


(1)の解答
625=16*39+1 を考えると、①式は 16*(39x-y)+x=1 となる。
このことから、(ア)=1 (イウ)=39
(エオ)=17 (カキク)=664

(2)の解答
(ケ)=8
 625=(2^4)m+1であるから
(コ)=5

(3)の解答
文章を読むと、要するにx-(5^3)が2^5の倍数であるということ。
一番小さい3桁の数は
(サシス)=125 (セソタチツ)=12207

(4)の解答
同じように考えて、x-(11^3)が2^5の倍数であるということ。一番小さい整数は
(テト)=19 (ナニヌネノ)=95624

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