早稲田理工の数学入試 ― 2022年02月21日
早稲田理工の数学入試問題は国立上位大学に比べてかなり易しい。予備校の講評を見ると、問3が「やや難」になっている。教科書の基本問題がなんとかできる程度の勉強では問3(3)はできないだろうが、ちょっと考えれば普通にできるだろう。早稲田理工の数学入試問題のためには、教科書中心の勉強でよいだろう。
問3の解答
(1)ものすごくやさしい初歩的問題。
b(n+1)-7/6={b(n)-7/6}/2と書けるので、
b(n+1)-7/6=(1/2)^n×(r-7/6) 注）＾は累乗の意味
よって、 b(n)→7/6
同様に、c(n+1)-5/3=(1/2)^n×(r-5/3)
であるから c(n)→5/3
(2)普通に数学的帰納法で完答できる易しい問題
(3)nが大きい時 [b(n)] [c(n)] はともに１であることに気が付けばよい。
b(n+1)=7/6+(1/2)^n×(r-7/6)であるから、r-7/6≧0の時は、常にb(n+1)>1
また、r-7/6＜0の時は-(1/2)^N×(r-7/6)<1/6となるNを考える。
結局、n≧Nのとき、b(n)>1が成り立つ。
同様にして、n≧Mのとき、c(n)<2が成り立つ。
N,Mの大きい方をLとすると、n≧Lのとき、1<b(n)≦a(n)≦c(n)<2となるので、
このとき、[a(n)]=1である。
すなわち、n≧Lのとき、
a(n+1)=1/4+a(n)/4+5/6であるから、
a(n)→13/9
