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　東北大学は、かつては難問が出題されたが、近年はそんなことはなかった。ところが、今年の問２は難しい。今年の主要大学入試問題の中で、一番難しかったと思う。この問題は決して、奇をてらったようなものではなく、普通に高校の範囲で解けるのだけれど、時間内に正解に到達するのは、かなり困難だろう。良問というべきなのか、意地悪問というべきなのか。完答した生徒はどれほどいただろうか。
　ただし、(1)は易しいので、部分点は確保したい。
　
問題
　aを実数とする。
　f(x)=(x^2+3x+a)(x+1)^2　を考える。
　
(1)　f(x)の最小値が負になるときのaの範囲を求めよ
(2) a<2とする。このとき、f(x)には極小値を2つもつ。これをα1,α2（α1＜α2）とするとき、f(α1)<f(α2)を示せ。
(3)　f(x)は　x<β　において単調減少し、かつ、x=βでf(x)が最小値となる。このようなβが存在するための、aの範囲を求めよ。。

解答　
　
(1)『最小値が負』ということは、要するに『f(x)が負の値になることがある』ということである。
f(x)={(x+3/2)^2+a-9/4}(x+1)^2となるので、
a<9/4のとき、f(-3/2)は負の値となる。
よって、この時は最小値が負となる。
逆にa≧9/4とすると、f(x)は常に正またはゼロであるから、f(x)の最小値はゼロである。
以上より、求める範囲はa<9/4

（2）（注：a<2はα1<-1<α2となる条件）
f’(x)=(x+1)(4x^2+11x+2a+3) である。
g(x)=4x^2+11x+2a+3とする。
a<2のとき、g(-1)<0であるから、g(x)=0の解をβ1,β2（β1<β2）とすると、β1<-1<β2　となる。
　注）2<a<9/4のときは、β1<β2<-1　となる
よって、g(x)=0の二つの解がα1、α2である。
ここで、h(x)=x^2+3x+a　　 i(x)=(x+1)^2　　 f(x)=h(x)×i(x) 　と書く。
α＝α1 または　α＝α2　とする。
g(α)=0であるから、4α^2=-(11α+2a+3)が成り立つ。よって、
4h(α)=α+2a-3 　　 4i(α)=-3α-2a+1
したがって、h(α2)-h(α1)=(α2-α1)/4 >0
一方、 i(α2)-i(α1)=-3(α2-α1)/4<0 　であるから、0<i(α2)<i(α1)

ここで、h(α2)≧0とする。i(α2)>0であるから、f(α2)≧0である。(1)より、f(x)の最小値は負であるから、このときf(α1)<0である。
すなわち、f(α1)<0≦f(α2)が成り立つ。
次に、h(α2)<0とする。このとき、h(α1)<h(α2)<0と、0<i(α2)<i(α1)から、、f(α1)<f(α2)<0　が成り立つ。
結局、f(α1)<f(α2)となる。

（3）a>9/4とすると、(1)から、x=-1で最小値0をとることが分かる。
f'(x)=(x+1)(4x^2+11x+2a+3) であるから、g(x)=4x^2+11x+2a+3=4(x+11/8)^2-(11/8)^2+2a+4とする。
2次方程式g(x)=0の解の判別式をＤとする。D<0とa>73/32は同値である。
　
よって、a>73/32のとき、f'(x)はx<-1で負の値となり、f(x)はこの範囲で単調減少となる。
　
a=73/32のときg(x)は重解を持つ。この解をγとすると、g(γ)=0,g(x)>0(x≠γ)であるから、x<-1のとき、f(x)は単調減少である。
　
9/4<a<73/32のときは、g(x)=0が異なる2つの解を持ち、少なくとも一方は-1よりも小さいから、x<-1の範囲で、f(x)が増加関数の時がある。
　
a<2のときは、(2)より、β＝α1とすると、x<βのとき、f(x)は単調減少かつ、βで最小値となる。
　
2≦a<9/4のとき。g(x)=0の解をβ1,β2（β1<β2）とすると、β1<β2≦-1　となるので、β＝β1とすると、x<βのとき、f(x)は単調減少かつ、βで最小値となる。

a=9/4の時は、x=-3/2,-1でf(x)は最小値0となるので、β＝-3/2とすれば、x<βのとき、f(x)は単調減少かつ、βで最小値となる。

以上より、
a≦9/4 、　a≧73/32　のとき、x<βのとき、f(x)は単調減少かつ、βで最小値となるようなβが存在する。。