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　北海道大学は旧帝大7＋１の中では、九大と並んで入りやすい大学だ。このため、数学入試問題も易し目であることが多い。しかし、今年は、どうしたことか、北大にしてはかなり難しい。合格点もだいぶ下がったのではないだろうか。

　問1は、区間をきちんと分けて、落ち着いて考えれば、なんでもない問題。しかし、頭を整理して解答を書く必要がある。思考力のほかに、答案をまとめる文章力も必要。
　この他、問3も結構難しい問題。具体的に積分をすることが困難なので、区間を分けて、少し抽象的議論をする必要がある。
　以下、問1の問題と解答例を示します。
　　
問題 1
0≦a≦b≦1とする。、
f(x)=|x(x-1)| + |(x-a)(x-b)|
を考える。xが実数の範囲を動くとき、f(x)は最小値 m を持つものとする。
(1) x<0,x>1のとき、f(x)>mを示せ。
(2) m=f(0) または m=f(1) であることを示せ
(3) a,b が 0≦a≦b≦1 を満たして動くとき、mの最大値を求めよ。

考え方：
　絶対値があるので、それぞれの区間ごとに考えればよい。ただし、x≦0,0≦x≦a,a≦x≦b,b≦x≦1,x≧1の5つの区間に分ける必要があって、めんどう。

解答：
(1)
x<0,x>1のとき、
f(x)=x(x-1)+(x-1)(x-b)であるから、このとき、
f’(x)=4x-(a+b+1)
すなわち、x<0　の時　f’(x)<0　、x>1　の時　f’(x)>0
よって、x<0のとき、f(x)>f(0) 、　x>1のとき、f(x)>f(1) であるので、題意は示された。

(2) x≦0,0≦x≦a,a≦x≦b,b≦x≦1,x≧1の5つの区間に分けて考える。

x≦0,x≧1のときは、(1)より、f(x)の最小値はf(0),f(1)である。
0≦x≦a、b≦x≦1のとき、f(x)は一次多項式であるから、端点で最小値となる。
すなわち、最小値となるのはf(0),f(a),f(b),f(1)のいずれかのうち、一番小さい値である。
a≦x≦bのとき、f(x)は上に凸の2次関数だから、最小値となるのはf(a),f(b)のいずれかのうち、一番小さい値である。

結局、f(x)の最小値は、f(0),f(a),f(b),f(1)のいずれかのうち、一番小さい値であるので、具体的には、
f(0)=ab , f(a)=a(1-a) , f(b)=b(1-b) , f(1)=(1-a)(1-b)　のいずれかということになる。
a+b≦1のとき、ab≦a(1-a) , b(1-b) , (1-a)(1-b)
a+b≧1のとき、(1-a)(1-b)≦ab , a(1-a),b(1-b)
であるから、f(x)はx=0またはx=1のときに最小となる。

(3)
最初に　a+b≦1　の場合を考える。この時は、ab≦(1-a)(1-b)であるから、m=abである。
0≦a≦b≦1であるから、0≦a≦1/2
この時、ab≦a(1-a)≦1/4　(a=1/2,b=1/2のとき、等号成立)。
次に、a+b≧1　の場合を考える。この時は、ab≧(1-a)(1-b)であるから、m=(1-a)(1-b)である。
α=1-a,β=1-bと置くと、(1-a)(1-b)＝αβ≦α(1-α)≦1/4　　(α=1/2,β=1/2のとき、等号成立)。
結局、mの最大値は1/4で、a=b=1/2の時に実現する。