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問4

＜問題＞

数列｛a_n｝を  a₁=1  a₂=1   a_n+2=a_n+1+a_n {n=1,2,3,…}　により定め、

数列｛b_n｝を　　tan b_n =1/a_n  により定める。ただし、0<b_n<π/2 とする。

(1)  n≧2に対して、a_n+1a_n-1-a_n² を求めよ。

(2)  m≧1(mは整数)に対して、a_2m・tan(b_2m+1+b_2m+2) を求めよ。

(3)  無限級数　Σb_2m+1　(mの和は0～∞) を求めよ。

＜解説＞

東工大は東京医科歯科大と合併して、東京科学大学になった。しかし、入試は、旧東工大と、旧医科歯科とは別の問題。旧医科歯科の問題は(1)が(2)のヒントになっていて、(2)が(3)のヒントになっていることが多かった。旧東工大は、必ずしもそう言うことではなかったが、この問題は前の問題が次の問題のヒントになっている。ヒントがなかったらできっこないけれど、この問題は、順に解けば易しい。

＜解答＞

題意からa_nは次式となる。

a_n+1=αpⁿ+βqⁿ   

ただし、p+q=1  pq=-1  α+β=1  αp+βq=1

すなわち、α=(1-q)/(p-q)  β=(p-1)/(p-q) 

(1)  a_n+1a_n-1-a_n²=αβ(pq)^n-2{(p+q)²-4pq}

ここで、αβ=1/5であるから、結局、

a_n+1a_n-1-a_n²=-1  （nは偶数）

a_n+1a_n-1-a_n²=1  （nは奇数）

(2)  a_2m・tan(b_2m+1+b_2m+2)= a_2m・(tan b_2m+1+tanb_2m+2)/(1- tan b_2m+1・tanb_2m+2)

＝a_2m・(1/ a_2m+1 +1/ a_2m+2) / {1-1/ a_2m+1 ・1/ a_2m+2}=1

ここで、a_2m+2a_2m-a_2m+1²=1   a_2m+2= a_2m+1+ a_2mを使った

(3)  (2)より、tan(b_2m+1+b_2m+2)＝tan(b_2m)で、0<b_n<π/2であるから、

b_2m+1+b_2m+2＝b_2mである。すなわち、b_2m+1＝b_2m- b_2m+2。

よって、Σb_2m+1　(mの和は1～M-1)=b₂-b_2Mである。

明らかに、a_n→∞であるから、b_n→0

Σb_2m+1　(mの和は1～∞)= b₂=π/4

Σb_2m+1　(mの和は0～∞)=b₁+ b₂=π/2