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　今年の東工大は特に難しい問題はなかった。しかし簡単にできる問題もない。問1はコケオドシなので、受験勉強に取り組んでいなくても完答できるかもしれないが、それ以外は問題集をこなしていないと無理だっただろう。問1以外は東工大らしい良問といえる。特に、問2、問4は練習問題として取り組んでおくべき問題。


問1

次の問に答えよ。
(1)
|x²-x-23|の値が、3を法として2に合同である正の整数xを全て求めよ。
(2)
k個の連続した整数x₁,・・・,x_kに対して、
　|x_j²-x_j-23| (1≦j≦k)
の値がすべて素数になるkの最大値と、そのkに対する連続した正の整数x₁,・・・,x_kを全て求めよ。
ここで、k個の連続した整数とは、
x₁,x₁+1,x₁+2,・・・,x₁+k-1となる列のことである。


＜解説＞
　絶対値のある問題で、素数の問題なので、難しいのではないかと身構えたら、あっけない易問。　x=1,2,3,4,5,6,7,8と順に考え、さらに、x≧6のときはxを3で割った余りにより分ければ簡単。
　ところで、「整数Aが3を法として2に合同」という言い方は、今の高校生にはポピュラーなのだろうか。
　もし、この問題が難しかったら、それは、数学ではなくて、出題者の日本語がわかりにくかったためかもしれない。

＜解答＞
(1)
「整数Aが3を法として2に合同」とは「A-2」が3の倍数であるということ。
x≧6のとき、x²-x-23>0であるから、
x≧6のときには、|x²-x-23|＝x²-x-23
よって、このとき、|x²-x-23|が題意を満たすならば、x²-x-23-2が3の倍数となる。
x=3k,3k+1,3k+2を入れると、いずれも3の倍数でないことがわかる。
あとは、
x=1，2，3，4，5を|x²-x-23|を入れてみると、x=1,3,4が求める値であることがわかる。

(2)
以下f(x)=|x²-x-23|と書く。
x≧6でx=3k+2(kは整数)のとき、f(x)=3(3k²+2k-7)となる。k≧2なので、f(x)は素数でない。
すなわち、x=8,11,14,・・・のとき、f(x)は素数ではない。
このため、x≧8のとき、f(x),f(x+1),f(x+2)の3つが共に素数となることはない。
f(1)=23,f(2)=21,f(3)=17,f(4)=11,f(5)=3,f(6)=7,f(7)=19である。
よって、x=3のときf(x),f(x+1),・・・,f(x+4)が素数になる。
すなわち、求めるkの最大値は5で、x₁～x₅=3～7


問2

複素数平面上の異なる3点A,B,Cを複素数α,β,γで表す。ここで、A,B,Cは同一直線上にないと仮定する。
(1)
　三角形ABCが正三角形となる必要十分条件は、
　　α²+β²+γ²＝αβ+βγ+γα
であることを示せ。
(2)
　三角形ABCが正三角形のとき、三角形ABCの外接円上の点Pを任意にとる。このとき、
　　AP²+BP²+CP²
　および、
　　AP⁴+BP⁴+CP⁴
を外接円の半径Rを用いて表せ。ただし、2点X,Yに対して、XYは線分XYの長さを表す。

＜解説＞
　今年は、早稲田大学理工、京都大学理系の問題に、複素平面上の正三角形を問題とする出題があった。東工大も類似問題である。ただし、早大・京大の問題では、正三角形であることを前提に、解の関係を導かせるのに対して、東工大では、必要十分条件であることを証明させる問題であった。このため、東工大の方が難しくなっている。
　早大・京大・東工大ともに、複素平面上の典型的な正三角形はz²+1=0の解であることを使うと、見通し良く解ける。

＜解答＞
(1)
複素平面上の正三角形とは(-1,ω,ω^*)を拡大・回転・移動して得られる図形のことである。
ただし、ωは-1の三乗根の虚数解。ω^*はωの複素共役とする。
よって、(α,β,γ)=a+b(-1,ω,ω^*)のときに、正三角形になっている。ここで、a,bは適当な複素数で、b≠0。

(α,β,γ)=a+b(-1,ω,ω^*)のとき、
α²+β²+γ²-(αβ+βγ+γα)
=b²(1+ω²+ω^*2+ω+ω^*-ωω^*)
ここで、ω²+ω^*2=-1 , ω+ω^*-ωω^*=0 であるので、
α²+β²+γ²-(αβ+βγ+γα)=0が成り立つ。

逆に、α²+β²+γ²＝αβ+βγ+γαが成り立つとする。
a=(α+β+γ)/3 b=(-2α+β+γ)/3とおく。
ここで、α+β+γは同一直線状にないので、b≠0である。
さらに、s=(β-a)/b,t=(γ-a)/bとおくと、s+t=1となる。
また、(α,β,γ)=a+b(-1,s,t)であり、α²+β²+γ²＝αβ+βγ+γαから、
　1+s²+t²=-s-t+st　が成り立つ。
すなわち、s²-s+1=0,t²-t+1=0となる。
s≠tであるから、(s,t)=(ω,ω^*)となる。
すなわち、(-1,s,t)は複素平面上の正三角形となっている。
(α,β,γ)=a+b(-1,s,t)であるから、
(α,β,γ)は複素平面上の正三角形となっている。

(2)
正三角形の3点が(-1,ω,ω^*)のときを考える。
Pの座標をpとする。Pは外接円上の点なので、pp^*=1が成り立っている。
AP²+BP²+CP²=|-1-p|²+|ω-p|²+|ω^*-p|²=6
AP⁴+BP⁴+CP⁴=|-1-p|⁴+|ω-p|⁴+|ω^*-p|⁴=18

一般に、AP²+BP²+CP²=6R²
また、　AP⁴+BP⁴+CP⁴=18R⁴


＜注意＞
(1)は正三角形の条件として、（α-β）/（β-γ）＝-ωなどを使用した方が回答がすんなり纏められる。

問3
　解いていません


問4

＜問題＞
nを正の奇数とする。曲線y=sin(x) ((n-1)π≦x≦nπ) とx軸で囲まれた部分をDnとする。直線x+y=0をLとおき、Lの周りにDnを一回転してできる回転体をVnとする。

(1)　(n-1)π≦x≦nπに対して、点(x,sin(x))をPとおく。また、PからLに下した垂線とx軸の交点をQとする。線分PQをLの周りに一回転させてできる図形の面積をxの式で表せ。

(2)　(1)の結果を用いて、回転体Vnの体積をnの式で表せ。

＜解説＞
　この問題は、受験勉強に取り組んでいれば、なんでもない問題。取り組んでいないと、(2)で間違える可能性が大きい。
　(1)は容易。(2）は回転体の体積は回転軸の長さに沿って積分することが基本。傾いた軸周りの回転の問題が、時々どこかの大学で出題されるので、間違わないようにしたい。練習問題として取り組むべき問題といえるだろう。

＜解答＞
(1)
P(x,sin(x))なので、Q(x-sin(x),0)
よって、
PからLへの距離：(x+sin(x))/√2
QからLへの距離：(x-sin(x))/√2
求める図形の面積をSとすると、
S=2πxsin(x)

(2)　注意）Vn=∫Sdxとすると間違える。
直線LへのPの垂線の足をRとすると、
R((x-sin(x))/2,-(x-sin(x))/2)なので、
ORの距離をrとすると、r=(x-sin(x))/√2
Vn=2π∫_a^bxsin(x)dr　　a=(n-1)π　b=nπ
Vn=√2π∫_a^bxsin(x){1-cos(x)}dx
ここで、∫xsin(x)dx=-xcos(x)+sin(x)
　　∫xsin(x)cos(x)dx=(1/8){-2xcos(2x)+sin(2x)}を使って、
Vn=√2(2n-3/4)π²

＜注意＞
体積を求めるだけならば、次のようにした方が簡単です。
P(x,sin(x))、R(x,0)とする。線分PRをLに周りに一回転してできる図形の面積を求めると、次式となる。
S=√2π{xsin(x)+sin²(x)/2}
VnはSをxで(n-1)π≦x≦nπの範囲で積分すればよい。


問5

kを正の整数として、A_k=∫₀¹x^k-1sin(πx/2)dx とおく。

(1)　A_k+2をA_kとkを用いて表せ。
(2)　kを限りなく大きくするとき、数列{kA_k}の極限値Aを求めよ。
(3)　(2)の極限値Aにたいし、kを限りなく大きくするとき、数列
　　｛k^mA_k-kⁿA｝
　が0でない値に収束する整数m,n (m>n≧1)を求めよ。また、その時の極限値Bを求めよ。
(4)　(2)と(3)の極限値A,Bにたいし、kを限りなく大きくするとき、数列
　　｛k^pA_k-k^qA-k^rB｝
　が0でない値に収束する整数p,q,r (p>q>r≧1)を求めよ。また、その時の極限値を求めよ。

＜解説＞
この問題は、(2)がわかるかどうかがポイント。(3)(4)は(2)と同様に考えればよいが、計算がだんだんゴチャゴチャしてくるので、結果を予測して要領よくまとめることが肝心。

　(1)は三角関数の部分積分を2回使うが、難しくない。
　(2)は(1)から答を推定する。0<A_k+2<1を使ってA_kを評価するのだが、普通はA_k+2をA_kを使って評価することが多いので、逆になっているため、思いつかないと正解に到達しない。
　(3)は(2)と類似な考察でよいので、(2)ができれば、(3)もできるだろう。
　(4)も同じ考察で完答できるが、だんだんゴチャゴチャしてくる。

＜解答＞
(1)部分積分を2回行う。特に難しいところはない。
計算は省略して、答のみ記す。
A_k+2=4(k+1)/π²(1-kA_k)

(2) (1)からkA_k→1が推定できるだろう。
題意から0<A_k<1である。
ここで、(1)の結果を使って、|1-kA_k|＝A_k+2/4/(k+1)<1/(k+1)
よって、1-kA_k→0(k→∞)　　
すなわち、A=1

(3)
k^mA_k-kⁿ=kⁿ{k^m-nA_k-1}
kA_k→1だから、m-n≧2のとき、k^m-nA_kは無限大に発散するので、m=n+1である。
(1)から、kⁿ(1-kA_k)=(π²/4)kⁿ/(k+1)/(k+2) (k+2)A_k+2　　
ここで、 (k+2)A_k+2→1(k→∞)だから、n=2のときに、上式は収束値π²/4をとる。
以上より、m=3,n=2,B=-π²/4

(4)
　(3)で、m=n+1を求めたのと同じ議論を行えば、p-q=1,q-r=2がわかる。
ここで、
　原式＝k^r{-k²(1-kA_k)+π²/4} に(1)の結果を入れる。
　原式＝(π²/4)k^r{1-k²/(k+1)A_k+2}
となるが、ここで、｛｝の中身の中で、1-(k+2)A_k+2を別に出すと、次式となる。
　原式＝(π²/4)k^r{(3k+1)/(k+1)/(k+2) +k²/(k+1)/(k+2)(1-(k+2)A_k+2)}
このため、r≧2のときは、右辺第一項が無限大に発散。r≦0のときは、右辺第一項、第二項共にゼロに収束する。
r=1のときは、右辺第一項が3π²/4に収束し、第二項はゼロに収束する。
　以上より、p=4,q=3,r=1, 収束値=3π²/4