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　例年の北大には難しい問題はなかった。しかし、昨年の北大は難しかった。このため、今年はかなり易しくなるのではないかと思っていたが、それほどでもなかった。昨年よりは易しいが、例年よりも難しい。
　問1、問2は易しい。問3も場合分けを間違わなければ問題ないが、限られた試験時間の中で、正答にたどり着くのはそれほど容易ではない。問4、問5は典型的な数列の問題と、積分の問題。受験勉強をまじめに取り組んでいれば容易だろうが、多くの受験生にとって易しくなかっただろう。
　そういうことで、問3、問4、問5の解答例を書きます。


問3の解答
(1)
すべてが3または6の確率から、すべてが6である確率を引いた値
　　(2ⁿ-1)/6ⁿ

(2)最大公約数が偶数である確率　3ⁿ/6ⁿ
　最大公約数が3である確率　(2ⁿ-1)/6ⁿ
　最大公約数が5である確率　1/6ⁿ
よって、最大公約数が1である確率は　　1 - (3ⁿ+2ⁿ)/6ⁿ

(3)場合分けを間違わないように、ベン図を書くとよい。
　最小公倍数が20ということは、4,5を含み、3,6を含まないということ。
　　A:1,2,4,5のみ
　　B:1,2,5のみ
　　C:1,2,4のみ
　　D:1,2のみ
とすると、最小公倍数が20になる確率はAの確率-Bの確率-Cの確率＋Dの確率となる。
すなわち、(4ⁿ-2×3ⁿ+2ⁿ)/6ⁿ　

　　　

問4の解答
＜考え方＞　y=f(x),y=xのグラフを書いてみると分かりやすい。

(1)
0<x<1のとき0<x<f(x)<1が成り立つ。
0<a₁<1 であるから、0<a_n<1 および a_n<a_n+1 が成立する。　

(2)
b_n={1-f(a_n)}/(1-a_n) である。
g(x)={1-f(x)}/(1-x) とすると、0<x<1のときg(x)は単調減少関数である。
b_n=g(a_n)であり、a_n<a_n+1であるから、b_n>b_n+1となる。
　
(3)
<考え方>a_n→pとすると、p>α、p=f(p)が成り立つ。よって、p=1。
大学の試験問題ならば「a_nは有界単調なので収束する」と書いておけば十分だけど、高校生はこの理論を使えないようなので、挟み打ちの原理を使う必要がある。
x≦h(x)≦f(x)となる易しい関数h(x)にたいして、c₁=a₁、c_n+1=h(c_n)で数列c_nを定めて、c_nを求めて、c_n→1となることを示すことが定石。
　
＜解答＞
　α≦x<1にたいして、h(x)を、（α,f(α)）、(1,1)を通る1次関数とする。
すなわち、h(x)=β(x-1)+1とする。ただし、β={1-f(α)}/(1-α)。　
ここで、0＜β＜１が成り立っている。
このとき、h(x)は単調増加関数で、α≦x<1のとき、x≦h(x)≦f(x)≦1が成り立っている。
c₁=a₁=α、c_n+1=h(c_n)により、数列c_nを定める。
このとき、数列c_nは単調増加関数で、c_n≦a_nが成り立つ。
また、c_n+1=1-βⁿ(1-β)となる。
c_n≦a_n<1 c_n→1(n→∞)　であるから、a_n→1 (n→∞) となる。

次に、x→+1のとき、g(x)の極限を求める。
lim_(x→+1) g(x) = f'(1) となる。
f'(x)=(π/2)cos(xπ/2)であるので、f'(1)=0であるから、
　　lim_(x→+1) g(x) =0　
よって、bn→0 (n→∞)　　
　
　
　　
問5の解答
(1)
1/{f(1-f)} = 1/f + 1/(1-f)に注意して、tの積分をfの積分に置き換えると、
求める積分値は　log{f(x)/(1-f(x))}-log{f(0)/(1-f(0))}
この値がaxだから、f(x)=1/{2exp(-ax)+1}=exp(ax)/{2+exp(ax)}

(2)
f(x)を0から1まで積分すると、S(a)={log(2+exp(a))-log3}/a
よって、S(a)→1/3　　（a→+0）
（注）f(x)の積分は　u=exp(ax)　と置けばよい。
（注）S(a)の極限は分子、分母をaで微分して、極限操作をする。
この手法は、問4(3)でb_nの極限を求めた時と同じ。