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京都大学は、ときどき、とてつもなく難しい問題が出題されるが、今年はそのようなことはなかった。ただし、教科書の練習問題だけで十分なことはなくて、それなりに受験勉強に取り組んでいないと、どの問題も解けないと思う。

問1はどう考えるのかによって、難易に差がでる問題。問2は難しそうな雰囲気だけど、こけおどし。こういうふざけた問題は、出題しないでほしい。問4は京都大学の整数問題なので、とてつもなく難しいのではないかと身構えたら、単に条件を分ければよい簡単な問題だった。

問3、問5は文理共通。

 

そういうことで、問1、問2、問4の問題と解答例を示します。　　

 

 

問１

＜問題＞

 a,bは実数でa>0とする。zに関する方程式

　　z³+3az²+bz+1=0

は異なる3つの解をもち、それらは複素平面上で一辺の長さが√3aの正三角形の頂点となっているとする。この時、a,bの値と、方程式の3つの解を求めよ。

 

＜コメント＞

この問題は、どのように考えるのかによって、難易度に大きな差が出る。ここでは、幾何的直観を使って、極力計算量を少なくすることを試みた。

 

＜解答＞

方程式の3つの解をα、β、γとする。ここで、αは実数解であるとする。

最初に三角形の重心を考える。α＋β＋γ＝-3aであるから、3つの解の重心は-aである。

よって、3つの解は-aを中心とする半径aの円周上にある正三角形となる。

-aを中心とする半径aの円周上にある実数は0または-2aなので、αは0または-2aである。しかし、方程式のゼロ次項はゼロでないので、0は解ではない。

よって、α＝-2a

3つの解は、-aを中心とする半径aの円周上にある正三角形なのだから、

β＝-a+aω、γ＝-a+aω^*

ただし、ωは-1の三乗根の虚数解。ω^*はωの複素共役。

 

以上、ここまでは全く計算をしていない。以下、a,bの値や解を求めるためには若干の計算が必要。

ここで、ω+ω*=1、ωω*=1を使う。

 

αβγ＝-1であるから、a=1/³√2

b=αβ＋βγ＋γα＝3a²

あとは省略。

 

 

 

問２

＜問題＞

pを正の整数とする。α、βはxに関する方程式x²-2px-1=0の2つの解で、|α|>1であるとする。

(1)  すべての整数に対してαⁿ+βⁿは整数であり、さらに偶数であることを証明せよ。

(2)  極限　lim_(n→∞)(-α)ⁿsin(αⁿπ)　　をもとめよ。　　

 

＜コメント＞

　一見するとかなり難しそうだけれど、単なるこけおどしで、易しい問題。確実に点を取るようにしたい。

 

＜解答＞

(1)  α＋β＝2p  αβ＝-1　を使う。

n=1,n=2のときは自明。

あとはαⁿ+βⁿ及びα^n-1+β^n-1が偶数の整数であることを仮定して、数学的帰納法を使えばよい。

 

(2)  難しそうだけど、単なるこけおどし。

題意から、-α=1/β　　-1<β<0

また、(1)からsinαⁿπ＝-sinβⁿπ　

βⁿ=xと書くと、-1<β<0より、n→∞のとき、x→0なので、求める値は

lim_(x→0)-sin(πx)/x＝-π　　

 

 

 

問4

＜問題＞

正の数αに対して

　α＝3^βγ　　（β、γは整数で、γは3の倍数ではない）

の形に書いたとき、B(α)=βとする。例えばB（3²×5）=2である。

m,nは整数で、以下の条件を満たす。

1≦m≦30     1≦n≦30     nは3で割り切れない

このようなm,nについて、f(m,n)=m³+n²+n+3　とするとき、

　　　A(m,n)=B(f(m,n))

の最大値を求めよ。またA(m,n)の最大値を与えるような(m,n)を全て求めよ。

 

＜コメント＞

m,nを3で割った余りについて場合分けすればよい。考え方も、やることも難しいことはない。

 

＜解答＞

以下、a,b,cは整数とする。

1)    n=3b+1 のとき

f(m,n)が３の倍数となるのはm=3a+1である。

このとき、f(m,n)=27(a³+a²)+9(a+b²+b)+6なので、

A(m,n)=1

 

2)    n=3b+2のとき

f(m,n)が３の倍数となるのはm=3aである。

このとき、f(m,n)=27a³+9(b²+1)+15b となるのでbが3の倍数のときはA(m,n)≧2となり、bが３の倍数でないときはA(m,n)=1となる。

 

2-1) b=0のとき

f(m,n)=27a³+9 であるから、A(m,n)=2

 

2-2)b=3のとき

f(m,n)=27(a³+5) であるから、A(m,n)≧3

 

2-3)b=6のとき

f(m,n)= 27a³+9×47 であるから、A(m,n)=2

 

2-4)b=9のとき

f(m,n)= 27a³+9×127 であるから、A(m,n)=2

 

b≧12はn>30となり不適。

 

以上よりb=3でa³+5が3の倍数のときにA(m,n)≧4となり、それ以外のときはA(m,n)≦3となる。

a³+5が3の倍数となるのは、a=3c+1と書けるときである。ただし、1≦m≦30　であるから、0≦c≦3。

また、このとき、a³+5=27c³+27c²+9c+6なので、この値は常に3の倍数で9の倍数ではない。

以上より、A(m,n)の最大値は

A(m,n)=4

このとき、c=0,1,2,3  b=3

すなわち、m=3,12,21,30   n=11