Fラン大 千葉科学大学数学入試問題2017年07月09日

      
千葉科学大学2015年度一般入試A方式1月29日数学問題の一部
   
 萩生田官房副長官が客員教授をしている千葉商科大学は加計グループ。銚子市のお荷物になっているFラン大とか。ここの数学入試問題を見ると・・・、よっぽどできない高校で、生徒を合格させるためのおまけ問題のような雰囲気。一応、高校に通っていたかどうかを試す問題なのだろうけれど。大学の存在意義って何だろうかと考えてしまう。
   
 数学問題の解説は、必要ないよね。

国士舘大学の数学入試問題2017年06月28日

 国士舘大学は右翼系の大学として有名。Fラン大というほどではないが、かなり偏差値が低い大学。
 左翼的主張をする学者には一橋大など偏差値が高い大学教授が多いのに対して、右翼的主張の学者は国士舘大など偏差値が低い大学教授が多い。学者の主義主張と学生の偏差値は本来無関係だと思うのだが、実際には明確な相関があるようで不思議だ。 

 国士舘大学の数学入試問題をいくつか解いてみた。多くの問題が教科書を一通り理解したかどうかを問う初歩的な問題。
 しかし、平成29年度数学Ⅲの問Ⅱは、受験勉強が必要な問題だった。国士舘受験者のどれだけができただろう。ただし、論理的思考が必要な問題ではなくて、どれも受験テクニックで足りるので、頭がよくない生徒でも、まじめに勉強していれば完答できる問題だ。もっとも、まじめに勉強していて、国士舘はないか。 


国士舘大学 平成29年度数学Ⅲ2月1日の問Ⅱ

(1)
 分数関数の積分は分母を分離することが定石。さらに、1/(X2+1)の積分がarctanであることを知っている必要がある。このため、まじめに勉強していないと無理だろう。

解答方針:
(2X2+7X+1)/{(X2+1)(X+1)}=aX/(X2+1) + b/(X2+1) + c/(X+1)となるa,b,cを求める。
a=4,b=3,c=-2である。
また、 ∫2X/(X2+1)dX=log(X2+1) (注:t=X2+1と置けば良い)
    ∫1/(X2+1)dX=arctanX   (注:t=tanθと置けば良い)
    ∫1/(X+1)dX=log(X+1)
であることを使う。以下省略。

(2)
この問題は、(1)(3)に比べれば易しい。普通に数Ⅲの受験勉強をしていれば、一度は類題を解いたことがあるはず。

解答方針:
分子がsinで、分母はcosの関数なので、cosの微分が-sinであることを知っていれば、t=cosX と置けば良いことに気が付くだろう。 あとは容易

(3)
類題を解いたことがないと難しい。この問題の類題をしっかり勉強していた受験生が、国士舘を受けるかな。tanのn乗の不定積分の漸化式を求める方法を知っていれば難なく解ける。tanの2乗の不定積分計算をやったことがなければ、まず無理だろう。

解答方針:これはtanの4乗の積分をする問題。
t=tanXとおく
∫tan4XdX=∫tan2X (sin2X/cos2X)dX=∫t2sin2Xdt
ここで、sin2X=sin2X/(cos2X+sin2X)=t2/(1+t2)
よって、∫tan4XdX=∫t4/(t2+1)dt=∫{t2-1+1/(t2+1)}dt
=(1/3)t3-t+arctan(t)=(1/3)tan3X-tanX+X
以下省略。

岡山理科大学の数学入試問題の変形2017年06月21日

2016年前期SA方式2日目の数学入試の問4の変形として、こんな問題はどうでしょう。
       
問題
    
i^2+j^2=k^2 (i,j,kは正の整数)とする。
sinθ=i/k (ただし0<θ<π/2) とすると、θ/πは無理数であることを示せ。
    
解答方針
a(n)=k^n×sin(nθ) 、 b(n)=k^n×cos(nθ) とする
このとき、α=2j-kとすると
a(n)+(k-i)×α^(n-1) 、b(n)+(k-j)×α^(n-1)
はkの倍数となることを示せばよい。

Fラン大学 岡山理科大学の数学入試問題2017年06月20日

安倍晋三首相がからむ「加計学園問題」は国会閉会後も尾を引きそうです。
  
タイトルのFラン大学とは、偏差値がものすごく低い大学のことを言う受験用語で、A~Eの五段階評価をしたときのFであるとか、ボーダーフリーのFだとか、そのように言われます。
  
加計学園の中核大学は岡山理科大学で、理工系のFラン大学です。岡山理科大学の他に、千葉県銚子市にある千葉科学大学も加計学園グループ大学で、ここの薬学部も恐ろしく偏差値が低い大学です。「加計学園問題」の政治問題にはいろいろな見解があるだろうけれど、政治問題以前に、「Fラン獣医学部を作ってどうするんだ」と言いたい。総理大臣の頭が悪い国があっても良いかもしれないが、頭が悪い獣医はゴメンだ。
  
「加計学園問題」とは関係ないが、岡山理科大学の数学入試問題を解いてみました。Fラン大の入試問題の特徴として、教科書の初歩的理解度を試す問題が中心です。上位大学を目指す生徒も、知識にぬけがないかを確認する意味で、いくつかのFラン大学の入試問題に、ざっと目を通しておくのも良いことでしょう。
  
2016年前期SA方式2日目の数学入試の問4は良くできた問題です。
   
(1)三角関数の定義を知っていれば十分。この問題は、高校に行っていたかどうかを見る問題です。
答: cosθ=5/13
  
(2)三角関数の和の公式を覚えているかどうかの問題。頭が悪くても、きちんと勉強していればできる問題です。
答: a(n+1)=5a(n)+12b(n)
  
(3)日本語で書かれた問題の意味が理解でき、数学的帰納法が使えるかどうかを試す問題。
解答:(2)と同様に、b(n+1)=-12a(n)+5b(n)となる。よって、a(n),b(n)が整数とすると、a(n+1),b(n+1)も整数。a(1),b(1)は明らかに整数だから、数学的帰納法により、すべての正の整数nに対して、a(n),b(n)は整数である。
  
(4)高校で習ったことを組み合わせ、さらにゴールを見据えて式変形ができるかどうかを試す問題。高校で易しい演習問題を解いていたかどうか、つまり自分で机に向かって勉強していたかどうかを試す問題です。この問題ができた生徒は、岡山理大よりも、上位大学を狙えたかもしれない。
解答:
 次式が成り立つ。
 a(n+1)+(-3)^n=5{a(n)+(-3)^(n-1)}+12{b(n)+8(-3)^(n-1)}-13×8(-3)^(n-1)
 b(n+1)+8(-3)^n=-12{a(n)+(-3)^(n-1)}+5{b(n)+8(-3)^(n-1)}-13×4(-3)^(n-1)
 このため、a(n)+(-3)^(n-1)、b(n)+8(-3)^(n-1)が13の倍数の時は、a(n+1)+(-3)^n、b(n+1)+8(-3)^nは13の倍数になる。n=1の時、a(n)+(-3)^(n-1)、b(n)+8(-3)^(n-1)は、どちらも13なので、13の倍数。
 よって、数学的帰納法により、すべて正の整数nに対して、a(n)+(-3)^(n-1)、b(n)+8(-3)^(n-1)は13の倍数である。
  
(5)この問題はFラン大にしては難しい。生まれつき頭が悪い生徒には困難でしょう。
解答:
 θ/πは有理数であるとする。この時、θ/π=m/n  (ただし、m,nは正の整数)と書ける。
 このとき、a(n)=13^n×sin(mπ)=0となる。
 よって、a(n)+(-3)^(n-1)=(-3)^(n-1)となるので、この値は13の倍数ではない。これは、(4)の結論と矛盾する。
 以上より、θ/πは無理数である。

自分で考えよう―北方領土問題2017年04月03日

  
先ずは児童書の紹介。
ペーテル・エクベリ/著、枇谷玲子/訳『自分で考えよう: 世界を知るための哲学入門』晶文社 (2016/10)
  
 小学校高学年程度の人を対象とした哲学の入門書。哲学の入門書と書くと、とっつきにくく面白くない本に感じるが、この本はそういうものではなくて、自分で考えることの重要性と、哲学の意義を平易に説明している。絵が豊富で、絵本のような雰囲気なので、とっつきやすいけれど、文章の内容の割にはページ数が多くて高価な気がする。でも、絵がきれいで、なかなかかわいい本で、読んでみると楽しくなるので、大人でも読んで損はないように思います。
  
 最近、The Huffington Postに、この本の翻訳者と思われる人の北方領土問題学習に関する投稿が掲載されていた。
http://m.huffpost.com/jp/entry/15584794?
http://reikohidani.net/2998/
  
 小学生の子供が、北方領土問題の調べ学習に関連して、「本かネットか」ということと「何が真実か」ということを論じている。
  
 「本かネットか」という視点については、何を問題としているのか、どうもよくわからない。
 本の場合は紙媒体であると同時に、普通100ページ以上あるので細かい議論が展開される。これに対して、ネットの情報は電子媒体であると同時に、書いてある内容が少なく、結論のまとめであることが多い。
 このため、「本かネットか」の問題は、以下の2点を含む。
 ①媒体は紙か、電子か
 ②細かい議論の展開があるか、結論のまとめだけか
①②の問題は、本来全く別のことなので、何を問題としているのかをはっきりさせないと、議論が混乱する。
  
 「何が真実か」。この問題に対する枇谷玲子氏の議論は、先に紹介したページを参照いただくとして、私には、それよりも「真実とは何か」に関心がある。枇谷玲子氏は私が書いた以下のインターネットページを参照している。
http://www.ne.jp/asahi/cccp/camera/HoppouRyoudo/Yasashii.htm
 このページを作成した最大の目的は「真実とは何か、自分で考えよう」、こういう問いかけを子供たちにしたかったためである。
  
 さて、「真実とは何か」について、大きく分けると、以下の2つの考えがあるだろう。
 a)新興宗教の教祖様や幹部の言説が真実である。
 b)いろいろな考えを理解したうえで判断した、自分の考えが真実である。
  
 a)の変形には、「国家の説明が真実である」というのもあるだろう。戦前の日本は明治に作られた国家神道を信仰することが義務だったので、教育勅語や軍人勅諭が真実の価値基準の中心に置かれた。戦後になると、a)からb)への動きがみられたが、近年では逆戻しの動きがみられるようだ。
  
 子供たちにとって「真実」とは何だろうか。現実的な利益を考えるならば「入試で役に立つ知識」が「真実」だ。
 中学校の国語入試問題では、主人公は道徳的行動をするものとして解答すると、たいてい正解になる。ここでいう道徳とは、小学校の道徳の教科書に書いてあるようなことである。このため、小学生にとってはa)の考えが正しいとも考えられる。しかし、大学入試の国語の問題では、主人公は小学校の道徳教科書のような行動をとるとは限らない。このため、b)が正しい「真実」である。
 世界史入試問題でも、東大や一橋は事項の暗記だけではとても歯が立たない。いろいろな史実を理解し、歴史の流れの中で判断できないと点を取るのは難しい。もっとも、下位大学の入試では暗記だけで十分なので、偏差値が低い大学にしか行けない子供にとって、真実とはa)だろう。数学の問題も同じで、上位大学では論理の構成を問われるのに対して、下位大学では教科書知識を問われる。
 このように考えると、上位大学を目指す子にとって真実とはb)であるが、偏差値が低い子にとってはa)が真実である。
  
http://www.ne.jp/asahi/cccp/camera/HoppouRyoudo/Yasashii.htm
このページを作成した最大の目的は「真実とは何か、自分で考えよう」、こういう問いかけを子供たちにしたかったためである、と書いた。このページは、以下のページがもとになっている。
http://www.ne.jp/asahi/cccp/camera/HoppouRyoudo/indexHoppou.htm
ただし、どちらもその後、大きく書き加えているので、関連性がないところもある。
  
 北方領土問題とは何であるのか、まとめようとした時、最初に近所の図書館で、関連する本を10冊ほど借りてきた。いろいろな知見があって、頭が混乱したので、さらに10冊ほど読むと、だんだん論点が整理できた。ホームページに書いたのはそのころである。北方領土問題は、いろいろな事実を含み、いろいろな解釈があるので、最低でも10冊ぐらいは読まないと、それなりの知見は得られないだろう。今まで読んだ本の一覧をまとめてあるので、関心のある人は参考にしてほしい。
http://cccpcamera.photo-web.cc/Ryoudo/HoppouBook/index.shtml
   
 さて、日本政府の説明とわたくしの説明とでは大きく違っているように見える人があるかもしれない。事実の一部を取り出して論を立てるのだから、書き方が違ってくるのは当然のことだ。しかし、私のページも、しょせん国内の文献が中心なので、日本側解釈の一例に過ぎない。悲しいことに、外国語が苦手なので、私の理解はこれ以上進まない。
  
 「別海町役場総合政策課」のページには「北方領土は、私たちの祖先が心血を注いで開拓した、わが国固有の領土」と書かれているそうだ。これを、諸外国の人に理解させようとして、英語で訳すとどうなるのだろう。「心血を注ぐ」をそのまま訳したら、戦って奪い取るとの意味になるのではないだろうか。日本政府の言う「固有の領土」をリトアニアの人が正確に理解するには、英語でどう言えばいいのだろう。



北大(後期) 数学入試問題2017年03月23日

    
この問題、代ゼミの講評では『難』となっており、河合の講評では『やや難』となっている。一見すると難しい雰囲気だけれど、そんなに難しいはずはないと思って取り組むと、容易に解ける。問題を解くときは『自分はできるのだ』と思って取り組むと、案外易しいことが多い。
    
(1)
a(n)≧0のとき
a(n+1)=a(n)/2+1となるので、a(n+1)≧0が成り立つ。
C≧0のときは、数学的帰納法から、すべてのnに対してa(n)≧0が成り立つ。
また、このとき、a(n)=(1/2)^(n-1)×(C-2)+2となる。
   
(2)
すべてのnに対して、a(n)<0とする。このとき
a(n+1)=(3/2)×a(n)+1 となるので、
a(n)=(3/2)^(n-1)×(C+2)-2となる。
これは、C≦-2の時にa(n)<0となるので、求める答えはC≦-2。
   
(3)
C≧0のとは(1)より、a(n)は収束する。
C=-2のときは(2)より、a(n)は収束する。
C<-2のときは(2)より、a(n)は発散する。
   
ここまでは、普通の練習問題程度の易しい問題でしょう。
-2<C<0の時はどうなるのか。a(n)の符号が一定でないので、とても難しいような気がするかもしれないけれど、北大なのだからそんな難しいはずはないと思って取り組めば簡単です。
試みにC=-1として計算してみよう。
a(1)=-1,a(2)=-1/2,a(3)=1/4,a(4)=9/8・・・となって、以降a(n)>0であることがわかる。
ここまで来れば解答方針は容易だろう。
   
a(N+1)≧0とする。b(n)=a(n+N)とすると、b(n+1)=b(n)-(1/2)|b(n)|+1,b(1)=a(N+1)≧0が成り立つので、
a(n+N)=b(n)=(1/2)^(n-1)×{a(N+1)-2}+2
このため、a(n)は収束する。
(2)より、-2<C<0の時はa(N+1)≧0となる自然数Nが存在するので、よって、a(n)は収束する。
以上より、a(n)が収束するための必要十分条件はC≧-2である。

海陽学園2017年03月07日

 森友学園問題で、森友学園側が海陽学園に推薦枠があると大阪府に申告していたが、海陽学園側はこれを否定しているとの報道がある。そこで気になったのが、毎日新聞の次の記述だ。
  
「海陽中等教育学校は、全寮制を特色とする中高一貫の男子校で、高い進学実績がある。 」
  
 2016年の進学実績を見ると、東大2人、京大1人、名大1人で、現役生を見ると東大1人、京大0人、名大0人。
 この数字を見る限り、それほど高い進学実績とは言えないし、合格者に浪人生が多いところを見ると、浪人して予備校に通わないと、一流大学合格は難しいのだろう。この中高一貫校は学費が高く全寮制で生活全般を管理される学校として知られている。頭の良い生徒は、生徒の生活全般を管理するよりも、自主的に勉強したほうが成績アップにつながるのに。

東工大の数学入試問題2017年03月06日

 東工大は易しい年とそうでない年があって難易度が一定しない。今年は難しめの年だった。特に、問4(2)は考えにくい。問1はこのような問題に慣れていると容易だが、しっかり受験勉強をしていない人には難しいだろう。問5は典型的な問題なので、完答できるようにしたい。そういうことで、問1、問4、問5を書きます。
       
 
問1   
          
落ち着いて考えれば難しくない。
           
12=2^2×3なので、
N=2^n×3^m あるいは N=2^n×3^m×M (Mは2,3と互いに素な5以上の整数)
         
最初に、N=2^n×3^mとすると、Nの約数の個数が12なので、(n+1)(m+1)=12 (n≧2,m≧1)
このうち、約数が小さいほうから7番目が12になるものは、N=96,108
         
N=2^n×3^m×M(Mは2,3と互いに素な5以上の整数)とする。
Mが素数でn=2,m=1の時はNの約数は12個で、そうでないときはNの約数は24個以上。
よって、Mは素数でn=2,m=1。
このうち、約数が小さいほうから7番目が12になるものは、N=84,132
     
小さい順に書くと N=84,96,108,132
    
    
問4
    
(1)は漸化式を立てれば答えにたどり着く。難しくないので、(1)は落としたくないだろう。
(2)は考えにくい。わたくしの解答例の書き方では、高校の範囲外かもしれない。高校の範囲内にするには、確率ではなくて個数で書けばよい。
        
(1)
*を満たすもののうち、n番目がcの確率をc(n)、cでない確率をa(n)と書く。
P(n)=c(n)+a(n)
c(n+1)=(1/3)a(n)  ・・・(a)
a(n+1)=(2/3)c(n)+(2/3)a(n)・・・(b)
a(1)=2/3  a(2)=2/3  となる。
      
(a)(b)より、次式が成立する。
a(n+1)=(2/3)a(n)+(1/9)a(n-1)
よって、
P(n)=c(n)+a(n)=(1/3)a(n-1)+a(n)
    =tα^n+sβ^n
 ただし、α=(1+√3)/3  β=(1-√3)/3
   t=(6+2√3)/6   s=(3-2√3)/6
      
(2)
*を満たすもので7番目がcのものは、8番目がcでなくて、9番からn番は連続するcがない。
このため、*を満たすもので7番目がcのものの確率S1は、次式となる。
S1=C×P(n-8) 
ここで、Cは先頭から8この中で、*を満たし7番目がcで、8番目がcでない確率。
      
次に、*を満たすもので7番目がcで10番目がcのものは、7,10番がcで、8,9,11番がcでなくて、12番からn番は連続するcがない。
このため、*を満たすもので7番目がcで10番がcの確率S2は、次式となる。
S2=C×(2/3)×(1/3)×(2/3)×P(n-11) 
      
よって、求める確率Q(n)は次式となる。
Q(n) = S2/S1 = (4/9)×P(n-11)/P(n-8)
    
nが大きいとき、 |(1+√3)^n| >> |(1-√3)^n| であることに注意して、次式となる。
Q(n)→(4/9)×{3/(1+√3)}^3=3√3-5
      
     
  
問5
    
典型的な練習問題。完答できるようにしたい。
      
(1)判別式が負なので、-2<c<2
  これが十分条件であることを示すのは容易。
      
(2)F(Z)=0の時、Zの複素共役も解であることを示せばよい。
  詳細省略
      
(3)a=c1+c2   b=c1×c2+2 となる。
  このような、c1,c2が、-2<c1<2、-2<c2<2 に存在する条件を求める。
b≦(1/4)a^2+2    b>2a-2    b>-2a-2  -4<a<4  の範囲です。



入試の数学 難易度2017年03月05日

    
旧帝大7校プラス東工大の数学入試問題を比べると、例年難しい問題が出る東大は易化し、京大は易しめの年だった。これに対して、例年易しい北大や九大がやや難しくなった。
その結果、各大学間の難易度の差が少ない年だった。ただし、東工大は難しめの年だった。
   
難易度の差は少ないけれど、強いて書くとこんな順番だろうか。これは、私の主観でどの大学が難しいかを考えたものであって、人によって、得意不得意があること、何点取るのか受験生によって違うので、一概には言えない。
   
①阪大
②東工大、京大、東大
③東北大
④北大、名大、九大
②④はそれぞれ3校ある。差は少ないがおおむねこの順番。
   
阪大は、難しい問題が出題されたけれど、これは数学の問題として難しいというよりも、出題者の意図が読みにくいという点が難しかった。出題者がひねくれているのだろうか。
 
今年の問題の中で、以下のものは練習に解いておいたほうが良いと思う。
京大・問6 東工大・問5 東北大・問6 北大・問3 東京医科歯科医学部・問3

東北大学 理系 数学入試問題2017年03月04日

    
ここは、難しい問題が出題される年もあるが、最近は易しいことが多かった。今年は、例年に比べ多少難しくなったが、それほど難しい問題ではない。
このうち、問5(2)は少し考えにくいかもしれない。入試問題なのだから必ずとけるだろうと自信をもって取り組めば正解にたどり着く。
問6は典型的な積分の問題なので、落とさないようにしたい。
   
   
問5
   
解答例(クリックすると拡大します)



  
この解答では条件のうちの|α|=|β|≠0を使用していない。どうして、このような出題になっているのだろう。
   
   
問6
   
   
三角関数が虚数の指数関数であらわされることを知っていると三角関数と指数関数が混合した積分の見通しがよくなることがある。高校の範囲外かもしれないが、知っておくと何かと便利。知らなくても、それほど困る問題は出ないと思うが。
   
解答例
   



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