大阪大学(理系)数学入試問題2020年03月01日

大阪大学は、難問・奇問が出ることがある。しかし、今年は易しい。かなり、高得点の争いになったはずだ。
ただし、問5は解答が書きにくかったかもしれない。そういうことで、問5の解答例を書きます。


問5の問題
三辺の長さの和が2である三角形ABCにおいて、辺BCの長さをa、辺CAの長さをbと書く。三角形ABCを辺BCを軸として一回転させてできる回転体の体積をVとする。以下の問いに答えよ。
(1)aの値を固定してbの値を変化させるとき、Vが最大になるのは、三角形ABCが辺BCを底辺とする二等辺三角形となるときである。これを示せ。
(2)a,bの値をともに変化させるとき、Vの最大値と最大値を与えるa,bの値をそれぞれ求めよ。


問5の説明  
(1)ができれば、(2)は簡単だろう。
(1)は三角形の面積が最大になるときにVが最大になることに気付けば、二等辺三角形のときに面積が最大になることを示せばよいことが分かる。辺の長さと面積の関係の問題なので、ヘロンの公式を使うと楽である。
 
問5の解答 
 
(1)
辺BCとAの距離をhと書くと、
V=(1/3)πah^2  (注)^は累乗の意味。
となる。
よって、hが最大の時にVが最大となる。
三角形の面積をSとすると、S=(1/2)ahであるから、三角形の面積が最大の時にhが最大になる。
ここで、三角形の面積を求めるヘロンの公式を使う。
S^2=d(d-a)(d-b)(d-c) ただし、d=(a+b+c)/2 cは辺ABの長さ。
 
題意からd=1なので、f(b)=(1-b)(1-c)としたとき、f(b)が最大の時に面積は最大になる。
ここで、c=2-a-bなので、
f(b)=-b^2+(2-a)b+a-1 である。
よって、b=1-a/2のとき、f(b)は最大になる。
このとき、c=bであるから、三角形ABCが辺BCを底辺とする二等辺三角形の時にf(b)は最大になる。
結局、三角形ABCが辺BCを底辺とする二等辺三角形の時にVは最大になる。
 
 
(2)
三角形ABCが辺BCを底辺とする二等辺三角形の時、b=c=1-a/2であるから、このとき次式が成り立つ。
h^2=(1-a/2)^2-(a/2)^2=1-a
このとき、V=(1/3)πa(1-a)
よって、a=1/2のとき、Vは最大値π/12をとる。このとき、b=3/4。

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