京都大学(理系)数学入試問題(追加)2020年03月08日

京都大学理系数学入試問題の問1、問2、問4の解答を書いた。
http://cccpcamera.asablo.jp/blog/2020/02/28/9218732
  
問3は文理共通で普通に解けばできる問題。理系を目指す高校生には、練習問題として適切なので、問題と解答を書きます。
 
 
問3
(ベクトルを表す上付き矢印が書きにくいので、矢印を省略します。)
 
<問題>
kを正の実数とする。座標空間に於て、原点Oを中心とする半径1の球面上の4点A,B,C,Dが次の関係を満たしている。
  OA・OB=OC・OD=1/2
  OA・OC=OB・OC=-√6/4
  OA・OD=OB・OD=k
このとき、kの値を求めよ。ただし、座標空間の点X,Yに対して、OX・OYはベクトルOXとベクトルOYの内積とする。
 
<解説>
 京都大学理系問3は文理共通問題。文理共通のため、理系としてはそれほど難しくはないが、文系の問題では、かなり難しい問題。
 球面上に点が4つあるので、計算が楽で一般性を失わないように座標値を定める。
 
<解答>
 Aの方向をx軸、Bはx-y平面にあるとする。さらに、cのz座標は負ではないとする。このようにしても、一般性を失わない。
 このとき、題意と条件から、A(1,0,0) B(1/2,√3/2,0) C(-√6/4,-√2/4,√2/2) と書ける。
 D(x,y,z)とする。
 OA・OD=k、OB・OD=kより、x=k,y=√3/3kとなる。
 OC・OD=1/2より、z=√2/2+(2√3)/3kとなる
 これをx2+y2+z2=1に代入して、次式を得る。
  16k2+(4√6)k-3=0
 k>0であるから、k=(3√2-√6)/8
 
 
問3のほか、問5も文理共通問題だった。問5は場合の数の問題で、時間内に正確に数え落としをしないのは難しい。

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